1. Halmazok és osztályok

A ZFC² rendszerből oly módon zárták ki az összes dolgok halmazának halmazából származó paradoxont, hogy azt mondták a ZFC csak halmazokra vonatkozik, és az összes halmazok halmaza már nem halmaz, osztályt alkot. A ZFC keretein belül az osztály fogalma nem véletlenül informális. Problémás ugyanis a halmazok mellett az osztályok bevezetése, mivel a halmazok és az osztályok egyaránt összességeket jelölnek, és nem pontosan tisztázott, hogy milyen esetben beszélhetünk az egyikről, és mikor a másikról.

Számomra az „új” végtelen³ egy, már végtelen számú halmazt tartalmazó halmaz összes részhalmazainak számossága, és „minőségileg” jelent újat. Például a projektív geometria ideális pontjai, melyeket kezdetben végtelen távoli pontként jellemeztek – ez a szemlélet ellentmondásokhoz vezetett – végül általánossá vált az ideális pont elnevezéssel együtt az a szemlélet, hogy ezt a pontot egy egyenes „állása” jellemez, nem a végtelen távoli jellege. Hasonlóan jó példa erre a parabolikus és a hiperbolikus számok tiszta imaginárius elemének végtelen „értelme”, például a …999 számot kezelhetjük olyan számként, melyre …999²=1, és ezzel eljutottunk a hiperbolikus imaginárius egységhez. Ez utóbbi példánál is a már absztrakt hiperbolikus számfogalomhoz vezető kezdeti „végtelen-szemlélet” ellentmondáshoz vezetne, ezért ezt a közelítésmódot elhagyva maradunk a hiperbolikusok absztrakt fogalmánál, melyeket „minőségileg” megkülönböztetünk a valósoktól, külön jelölést vezetünk be a számukra és megadjuk a velük való számolás szabályait egyértelműen meghatározó k²=1 definíciót.⁴

A fentiek értelmében én nem látom akadályát a halmazok/osztályok megkülönböztetésnek, sőt ennél még tovább is megyek. Szerintem végtelen számosságú halmazok összes részhalmazainak halmaza már új kategória, nevezhetjük osztálynak, és ha tovább megyek, végül az osztályok egyfajta hierarchiáját kapom. El is hagyhatnám az osztály megnevezést, és beszélhetnék a halmazoknak a hierarchiájáról, a fenti példákhoz hasonló módon „minőségileg” megkülönböztetve a különböző kategóriába tartozó halmazokat azzal, hogy minden végtelen sok elemet⁵ tartalmazó halmaz valamennyi részhalmazának halmaza olyan halmaz, mely minőségileg eltér az eredeti halmaz részhalmazaitól. Ez a minőségi eltérés olyan tulajdonságon alapszik, mellyel az eredeti halmaz egyetlen részhalmaza sem rendelkezik.

2. Aktuális és potenciális végtelen

A fentiek figyelembe vételével azt gondolom, hogy az aktuális végtelen létezik, de nem végtelen mennyiségként, hanem mindig új minőségként jelenik meg számunkra.⁶ Az úgynevezett mennyiségi végtelen csak potenciálisan létezik.

3. A kizárt harmadik elve

A kizárt harmadik elve szoros kapcsolatban áll a végtelenek hierarchiájával kapcsolatos paradoxonokkal, olyannyira, hogy az intuicionisták közül többen a használatának az elvetését javasolták. A matematikai bizonyítások jelentős hányada – például az indirekt bizonyítások – a kizárt harmadik elvén alapulnak, ezért a matematikusok nagy többsége lehetetlennek tartja a kizárt harmadik elvének az elvetését.

Ha megnézzük, milyen módon bővült lényeges módon a matematika egy-egy axiómabeli állítás tagadásával, akkor azt látjuk, hogy egy állítás, és annak tagadása egyes esetekben nem kétféle ágaztatja el a matematikát, hanem a bővülés a matematika hármas elágazását jelenti, mintha sérülne a kizárt harmadik elve. Ha közelebbről megnézzük, hogyan történik mindez, akkor érthetővé válik, hogy a kizárt harmadik elve mikor nem alkalmazható.

Egyik példa a matematika hármas elágazására a geometriában a párhuzamossági axióma megváltoztatása. Helyesebb, ha a párhuzamosság helyett az egyenesek metszése/nem-metszésének kérdésére vezetjük vissza a hármas elágazást:

* Egy egyenes és a rá nem illeszkedő pont síkjában a nevezett ponton keresztül csak olyan egyenes húzható, mely a nevezett egyenest metszi. (Gömbi geometria)

* Egy egyenes és a rá nem illeszkedő pont síkjában a nevezett ponton keresztül csak egyetlen olyan egyenes húzható, mely a nevezett egyenest nem metszi. (Euklideszi geometria)

* Egy egyenes és a rá nem illeszkedő pont síkjában a nevezett ponton keresztül több olyan egyenes húzható, mely a nevezett egyenest nem metszi. (Hiperbolikus geomatria)

Látható, hogy a „minden egyenes metszi” állítás tagadásánál – ami logikailag úgy fogalmazható meg, hogy „létezik nem metsző egyenes” – a tagadás kétféle lényegesen eltérő jelentést tartalmaz: „egyetlen nem metsző egyenes létezik” „több⁷ nem metsző egyenes létezik”. Átfogalmazva; a „nem létezik” tagadása kétféle lehet: „egyértelműen (azaz csak egy) létezik” vagy „több létezik”.

Nagyon hasonló a helyzet a kontinuum hipotézis állítása és tagadása esetében:

* A megszámlálható sok és a kontinuum sok között nem létezik más számosság. (Ez a kontinuum hipotézis)

* A megszámlálható sok és a kontinuum sok között létezik egyetlen más számosság.

* A megszámlálható sok és a kontinuum sok között létezik több más számosság.

A fentiek alapján vigyáznunk kell az – egymásba átfogalmazható – „nem létezik”, illetve a „minden” típusú állítások tagadásánál. A kizárt harmadik elve tehát bizonyos esetekben valóban sérül.

A fenti geometriai és halmazelméleti állítások között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés hozható létre. Mondhatjuk azt, hogy a matematika mindkét területén az aktuális végtelen létének tulajdonsága – létének számossága⁸ – határozza meg alapjaiban az elágazó új területeket. Így a kizárt harmadik elve az aktuális – vagyis minőségi – végtelen megjelenésekor sérül.

Filozófiailag is nagyon érdekes, hogy milyen eltérő matematikát kapunk, ha bizonyos létezőből egyetlen egy, vagy sok áll rendelkezésre.

________________________________

¹ Alexander George & Daniel J. Velleman , Philosophies of Mathematics

² ZFC: a Zermelo–Fraenkel halmazelméleti axiómák a kiválasztási axiómával kiegészítve.

³ Lásd „Az új végtelenről” című írásomat.

⁴ Lásd például „Az idő, a tér és a végtelen” című cikkemet.

⁵ A halmaz eleme lehet maga is halmaz. Ritka kivételtől eltekintve nem érdemes megkülönböztetni az elemeket a halmazoktól, hiszen az elem tekinthető egyelemű halmaznak. Az elem szó sokkal inkább egyfajta tartalmazási viszonyt jelöl: valamely halmaz „elemének” számító halmazt, azaz valamely halmaz által „tartalmazott” halmazt.

⁶ Lásd a 3. és a 4. lábjegyzetbeli írásaimat.

⁷ Elegendő a „több” egyenes helyett „legalább kettőt” mondanunk.

⁸ A fentiek alapján e számosság három esetben meghatározó: 0 (azaz nemlét), 1 (egyértelmű lét), 2 (ebből származtathatóan több lét).