Régóta izgat a kiválasztási axióma és a kontinuum hipotézis kapcsolata. 1900-ban David Hilbert az általa felvetett fontos matematikai problémák között elsőként említette a kontinuumhipotézist. A megoldást Kurt Gödel és Paul Cohen adta a XX. század közepe táján, a bizonyításokat Cohen koronázta meg, amikor 1963-ban a forszolás új módszerét vezette be a bizonyításában.¹ Gödel és Cohen bizonyításai alapján tudjuk, hogy kontinuum hipotézis konzisztens és független, azaz az állításnak sem a ZF-hez való hozzátétele sem az állítás tagadásának hozzáadása nem okoz ellentmondást. Ugyanez igaz a kiválasztási axiómára is.

A következők ismertek a kiválasztási axióma és a kontinnum hipotézis kapcsolatáról:

ZF+GCH |= AC²                                                                                            (1)

Ahol ZF jelöli a halmazelmélet Zermelo-Fraenkel axiómarendszerét³, GCH (global continuum hypothesis) a kontinuum hipotézis általános (globális) változatát jelenti⁴, AC (axiom of choice) pedig a kiválasztási axiómát. A |= azt jelenti, hogy az utána következők következnek az előtte állókból.

Megjegyzés

A kontinuum hipotézis nyilvánvalóan következik az általános kontinuum hipotézisből, ezért a következő is igaz:

ZF+GCH |= CH                                                               (2)

Mivel a ZF-et feltételezve a GCH-ból következik az AC, ezért alkalmasabbnak gondolom „útválasztónak” a GCH-t csatolni a ZF-hez, majd a három GCH-variáns megfogalmazásából következtetni a belőle származtatható AC-variánsokra. A három eset közül az egyik az (1)-ben leírt változat.

A teljes cikk innen tölthető le PDF formátumban