Mindig túlzott idealizációnak tartottam, hogy a matematika az egyes műveletek elvégzésénél nem foglalkozik a műveletek időigényével. Ez leginkább a végtelen számú lépésben meghatározható mennyiségeknél tűnik gondatlanságnak. A számítógépek megjelenésével, a műveletek tár- és időigényének problémája is előtérbe került.1 A bonyolultságelmélet üdítő kivételével az elméleti matematika alapjaiban természetesnek tartja az „időtlen” műveleteket. Ennek eklatáns példája a kiválasztási axióma (AC), mely – hétköznapi nyelven megfogalmazva – deklarálja, hogy végtelen elemszámú halmaz mindegyikéből kiválasztható egyetlen szempillantás alatt egy-egy elem.2 Ennek az axiómának a fizikai tapasztalatunktól eltérő, „varázslatos” jellege leginkább azokban a példákban érhető tetten, amelyekkel szemléltetni próbálták az axiómát. A legismertebb ezek közül Hilbert Grand Hotel paradoxonja3, amely szerint egy végtelen sok szobából álló, vendégekkel teli szállodában, akár végtelen sok új vendéget is el tudnak helyezni, mégpedig a szállóvendégek ügyes átköltöztetésével. Például úgy, hogy mindenki a szobaszámának kétszeresét jelölő szobába költözik. Ez a gyakorlatban nem csak azért nem működik, mert nincs végtelen sok szoba egy szállodában, de ha lenne, akkor sem lenne megvalósítható, hiszen minden vendéget egyenként nem költöztethetek, hiszen egy normális szállodában; egy szobában csak egy vendég lehet egy időben. Csak úgy működhetne, ha minden vendég pontosan egy időben költözne, de akkor meg az a gond, hogy mikor takarítanak egy kiköltöző vendég után. Egy matematikus nyilván megmosolyogná ezeket a gondolatokat, pedig nagyon fontos dologról van szó; Poincaré számára is lényeges volt a matematikai mennyiségek és a tapasztalat összevetése4. Hasznos tudnunk tehát, hogy a kiválasztási axiómával a halmazelmélet alapjaiba építettünk be egy olyan lehetőséget, amely a fizikai tapasztalatainknak ellentmond. Valakiben felvetődhet a gondolat, hogy a végtelenről sincs tapasztalatunk5, miért lenne lényegesebb a kiválasztási axióma. A kiválasztási axióma, és a vele szoros kapcsolatban álló kontinuum hipotézis (CH) ugyanolyan „útválasztó” axióma, mint a geometriában a párhuzamossági axióma. Épp általuk, illetve módosításukkal lehet a véges eset, és a különféle végtelenek „jelenlétét” vizsgálni.
A matematikai idealizáció egyik legfeltűnőbb eleme tehát az, hogy a hiperbolikus számok fogalmának felfedezéséig nem volt a fizikai időnek megfelelő matematikai fogalom. Ez egyrészt azt jelentette, hogy a fizikai időt – a térhez hasonlóan – valós számokkal folytonosan és lineáris módon mérhetőnek gondolták, másrészt azt is benne foglaltatik ebben a megállapításban, hogy egy matematikai művelet elméletben nem igényel időt.
A hiperbolikus számsíknak megfelelő téridő-topológia jellemző eleme, hogy az első síknegyedben6 – azaz ott, ahol a független változó pozitív, és a számpontok polár-koordinátás alakjában az argumentum nem tartalmaz imaginárius elemet – a számpontok, mint vektorok meredekségének értéktartománya (-1,+1). Ez azt jelenti a téridő-modellben, hogy a meredekség, mint a „térszerű” koordináta és az „időszerű” koordináta hányadosa egyfajta „sebességszerű”7 mennyiség, és ennek abszolutértéke nem lehet nagyobb egynél. Tehát nincs végtelen nagy sebesség. Ezzel korlátokat szabhatunk a matematikai műveletek elvégezhetőségére, és így a kiválasztási axiómát is át kell fogalmazni. Megjegyzem, hogy a kiválasztási axiómának ez az „időtlenséget” tartalmazó tulajdonsága azért maradt rejtve, mert a Cantor által bevezetett transzfinitek ellenére a matematika elsősorban az intenzív értelemben végtelenül darabolható mennyiségek jól kidolgozott rendszere maradt.
Végig kell még gondolni, hogy a parabolikus és az elliptikus – azaz a komplex – számsíkok milyen időfogalmat modelleznek. Az már körvonalazódik, hogy a CH különböző megfogalmazásaival viszem be a matematikába a különböző időfogalmakat, így a ZF (CH és AC nélkül) az az axiómarendszer, amiben még nem „született meg” az időnek, és következésképpen a térnek megfelelő matematikai fogalom.
_________________________________________________
1 Zénon paradoxonjai is a matematika elégtelenségére mutattak rá a fizikai tér- és időtapasztalatunk tekintetében. Így ez a probléma tulajdonképpen két és fél ezer évvel ezelőtt tűnt fel először, és jelent meg a későbbiekben is időről időre, megoldásra várva. Azoknak az algoritmusoknak az idő- és tárigénye, mellyel a bonyolultságelmélet foglalkozik, csak látszólag különbözik attól a problémától, ami a matematikában – például – a konvergencia bevezetésével jelenik meg. Amikor Cantor aktuális létet adott a természetes számok „után” következő végtelen nagy számoknak, nem tett mást, mint amit már korábban megtettek a valós számoknál, amikor aktuális létet adtak olyan számoknak, melyek csak végtelen sok lépésben végrehajtható művelettel hozhatók létre. A hasonlat ellenvetéseként hozható fel, hogy Cantor végtelenjei nem közelíthetőek meg a természetes számokkal, hiszen minden természetes számtól végtelen távol vannak. Azonban ugyanez mondható el az intenzív végtelen esetén is, azaz ha olyan végtelenül kicsiny számokat is feltételezek, melyek nagyobbak nullánál, de 1/n-nél kisebbek minden n természetes számra. Van tehát egy közös aktus a transzfinit végtelenek, és az irracionális számok bevezetésekor: ez pedig a teremtés „legyen” varázsszava, mely a potencialitásból aktualitásba emeli létüket.
2 Matematikai megfogalmazása ennek a következő: minden x-hez, ha x elemei nem üresek, akkor van olyan x-en értelmezett függvény, amely x minden eleméhez, annak egy elemét rendeli.
3 Lásd például a Wikipédiában: http://hu.wikipedia.org/wiki/Hilbert_Grand_Hotel-paradoxonja
4 Lásd Poincaré, Tudomány és föltevés http://www.fil.hu/uniworld/egyetem/restricted/filtort/Poincare/Tartalomjegyzek.html
5 Ezt az érvet egyébként helytelennek tartom, szerintem a végtelenről van tapasztalatunk, csak a végtelen érzékelése alapjaiban különbözik a végestől. Szerintem a végtelen a „másságban”, minőségileg különböző létezőként jelenik meg számunkra.
6 Lásd a „Kételemű számok alaptulajdonságainak összehasonlítása” című cikket.
7 Az idézőjel oka az, hogy a hiperbolikus számsík koordinátatengelyeinek téridő-megfeleltetésénél egy kis csalás történt – lásd „Az idő, a tér és a végtelen” című cikk utolsó fejezetét – amikor a fénysebességet egységnyinek vettem. Ha a mértékegységeket figyelembe veszem, akkor a hiperbolikus számsík x, azaz „időszerű” koordinátatengelyének fizikai megfelelője egy ct dimenzió, ahol c a fénysebesség. Ekkor az is látszik, hogy a hiperbolikus számok, mint vektorok meredeksége azért csak „sebességszerű”, mert fizikai modellként relatív sebességet, azaz a v/c-t jelöl.
