A Lorentz transzformáció leírása skalárszorzattal és ferde skaláris szorzattal
1. Előzmények
Korábbi kis cikkemben1 írtam arról, hogy mindhárom számsíkon azonos módon definiálható egy szimplektikus forma az
ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = x1y2 – x2y1 (1)
leképezéssel, és ennek a leképezésnek a számok koordinátáira átírt formája is azonos a három számsíkon. Ez akkor egyenlő 0-val, ha x1y2=x2y1 azaz y1/x1=y2/x2, tehát ha a két számvektor egy egyenesre illeszkedik. Másképpen megfogalmazva ez a ferde skaláris szorzat akkor 0, ha az egyik vektor a másik vektor számszorosa. (Ennek speciális esete, ha a két számvektor megegyezik.)
A három számsíkon a skaláris szorzat definíciója azonos módon indul:
<z1,z2> = Re(z̄1z2) (2)
de a különböző számsíkokon a képzetes egységelem különbözősége miatt a (2) egyenletet kibontva a skalárszorzatnak mind algebrai, mind a geometriai formája eltér:
Hiperbolikus esetben
<z1,z2> = Re(z̄1z2) = |z̄1| |z2| cosh (τ2-τ1) = x1x2 – y1y2 (3)
Ez akkor 0, ha ha x1x2=y1y2 azaz y1/x1=/x2/y2 tehát a két számvektor meredeksége egymás reciproka, a két számvektor olyan egyenesekre illeszkedik, melyek egymás tükörképei az y=x egyenesre. Ennek speciális esete, ha az egyik számvektor a másik ±k-szorosa, például k-szoros esetben:
<z,zk> = Re(z̄zk) = Im(z̄z) = xy – xy ahol k2=1 (4)
Ez pedig valóban 0.
___________________________
1 Lásd: a «A szimplektikus teve „természetes előfordulásai”» című cikket.
A teljes szöveg PDF fájlban itt található.
