A kételemű számok alatt azokat a számokat értem, amelyek

a+bw

alakban írhatóak, ahol ’a’ és ’b’ valós számok, w-re pedig az igaz, hogy

w²=-1 vagy 0 vagy +1

és w²=1 esetén w nem azonos a valós ±1-gyel, illetve w²=0 esetén w nem azonos a valós 0-val. A szakirodalom ezeket a számokat komplex, Study-féle vagy duális, illetve hiperbolikus számok vagy perplex számoknak nevezi.

„A kételemű számok alaptulajdonságainak összehasonlítása” című anyagban már írtam arról, hogy e számok összeadásának síkbeli képe vektorok összeadása, tehát a paralelogramma-szabályt követi. Írtam ugyanitt arról is, hogy az azo­nos előjelű, valós abszolút-értékű kételemű számokra felírható háromszög-egyenlőtlenségeknek érdekes az eltérése:

a./ | z_l+z₂| ≤ |z₁|+|z₂| a komplex (mondhatjuk azt is, hogy elliptikus) számoknál,

b./ | z_l+z₂| = |z₁|+|z₂| a parabolikus (más néven Study-féle vagy duális) számoknál

c./ | z_l+z₂| ≥ |z₁|+|z₂| a hiperbolikus (más néven perplex) számoknál.

A kételemű számok szorzásának geometriai képe mindig egy moz­gás: elforgatás az elliptikus, eltolás a parabolikus szá­moknál és a Lorentz-transzformáció a hiperbolikus számoknál esetenként nyújtással és tükrözéssel kombinálva, melyek maguk is a fenti három alapmozgás speciális esetei. A kételemű számok szorzá­sának e tulajdonsága alapján forgatásnak fogom nevezni az eltolást és a Lorentz-transzformációt is: parabolikus illetve hiperbolikus forgatásnak. A klasszikus forgatást pedig megkülönböztetésül ellip­tikus forgatásnak hívom majd.

Hangsúlyozni kell még egy fontos tulajdonságát ezeknek a számoknak, melyet majd a különböző geometriák modellezésénél fogok felhasznál­ni.

A komplex számok köréből ismert összefüggés, valamint „A kételemű számok alap­tulaj­don­sá­gainak összehasonlítása” című anyagban leírtak szerint:

sin yi = i sinh y

sin yj = yj

sin yk = k sin y

Érdemes a geometriák részletes tárgyalása előtt már itt kitérni ar­ra, hogyha egy gömb görbülete tiszta i-, j-, illetve k-szám, tehát, ha a gömb görbületét ρ-val jelölöm, akkor a görbületekre:

a./ ρ=Ri

b./ ρ=Rj

c./ ρ=Rk

ahol R tetszőleges valós szám, akkor a gömbi trigonometriák képletei a hiperbolikus,az euklideszi, illetve az elliptikus sík - azaz a klasszikus gömbi - trigonomet­ria képleteivel egyeznek meg.

Ugyanis ezeken a gömbökön egy r suga­rú kör kerületét g-vel jelölve a következőket kapom:

a./ Ha ρ=Ri

akkor g=2πρ/i sin ir/ρ = 2πρ sinh r/ρ

b./ Ha ρ=Rj

akkor g=2πρ/j sin jr/ρ = 2πr

c./ Ha ρ=Rk

akkor g=2πρ/k sin kr/ρ = 2πρ sin r/ρ

Felhasználva azt az abszolút tételt, hogy bármely egyenesvonalú há­romszögben az oldalakkal egyenlő sugarú körök kerületei úgy arány­lanak egymáshoz, mint a velük szemközti szögek szinuszai a fenti összefüggések valóban a hiperbolikus, az euklideszi, és gömbi felület trigonometriájához vezetnek.

Megjegyzem,hogy a Bolyai-geometriát formálisan egy komplex sugarú gömbön modellezték eddig, itt pedig komplex görbületű gömböt használtam az analógiára. Az elliptikus és a hiperbolikus esetben ez formálisan mindegy.

Termé­szetesen ez egyelőre csak formai érdekesség, hiszen például a b./ esetben az R sugár mint kételemű szám nem értelmezhető, a többi eset­ben pedig a sugár, mint szám értelmes, de mint geometriai fogalom még nem jelent semmit. A későbbiekben a kételemű számok és a végtelen kapcsolatának tükrében pontos értelmet nyernek ezek a fo­galmak.