Cantor olyan végtelen számokat definiált, melyek a megszámlálhatóan sok természetes számokon túl helyezkednek el, transzfinit számok. A negatív számok gépi ábrázolása adta az ötletet, hogy bizonyos végtelen nagy számokat a valós tört számok helyiértékes számábrázolásához hasonlóan írjam fel, például egy speciális végtelen szám a következő helyiértékes alakban írható fel:

…999

A  …999 szám¹ esetében tehát megszámlálhatóan sok 9 szerepel az egész számok ábrázolására használt helyiértékeken a 10-es számrendszerben. Láthatóan semmi mást nem csináltam, mint a valós törtek helyiértékes ábrázolásánál.

Mit tudunk elmondani erről a fenti végtelen nagy számról? Mindenekelőtt azt, amit a valós -1-ről, azaz

…999 ²=1                                *

A fenti egyenlőséget az ember idegenkedve nézi, hiszen azt kaptam, hogy egy végtelen szám négyzete véges nagy. Pedig van magyarázat; hasonló történt, mint a gépi számábrázolásban, ott ez az un. túlcsordulás jelensége. Épp ezért alkalmas a számítógépekben a – fenti számtól eltérően véges sok számjeggyel leírt –  99...999 módon ábrázolt szám a negatív számok ábrázolására. Hasonlóan mondhatjuk, hogy a fenti  egyenletet egy szorzáskor előfordult „túlcsordulás” magyarázza, és ez akkor áll elő, ha a számábrázolásom nem terjed ki az un. transzfinit számok ábrázolására, viszont érdekes módon a végtelen „hatása” megjelenik a műveletek végrehajtásakor. (Ennek értelmezéséhez szükség lesz a kontinuumhipotézis speciális fajtájára is, de erről majd később. Most annyit érdemes tudni, hogy a *-ban mefogalmazott definíció szoros kapcsolatban áll a kontinuumhipotézis egyfajta megfogalmazásával. Egyelőre tréfásan úgy képzelhető el, hogy a transzfinit végtelen „farkincája” belelóg a megszámlálhatóan végtelen sok helyiértékkel ábrázolható egész számok körébe, vagy egy kicsit komolyabban úgy gondolhatunk rá, mintha a végtelen nagynak valamiféle vetülete jelenne meg a végesben.)

x + yk          ahol k²=1

Hasonló elgondolással juthatok a parabolikus számokhoz³ is. (A komplex 'i' szám után abécé sorrendben következő 'j', és 'k' betűket használtam fel a parabolikus, és a hiperbolikus számok jelölésénél.)

A fentiek „értelmességét” az is alátámasztja, ha a projektív geometriát használjuk analógiára, és az ott bevezetett ideális pontokra gondolunk. A projektív geometriában az egyenes ideális pontját sokszor nevezik végtelen távoli  pontnak, de az ideális pont elnevezés elterjedtebb. Hajós György is felhívja a figyelmet a „Bevezetés a geometriába” című könyvében az ideális térelemekről szóló fejezetben:

„Az új térelemek bevezetésekor nem volt szó arról, hogy egy pont vagy egy egyenes minden határon túl eltávolodik. Ha valaki így akarna szemléletes jelentést adni az újonnan bevezetett pontoknak, és egyeneseknek, és azokat «végtelenbe távozott» pontoknak és egyeneseknek látja, akkor jelentős akadályok állják útját a szemléletes kép kialakulásának. Ilyen akadályt jelent az a kijelentés, hogy ha egy egyenesen az egyik vagy a másik irányban «távozik a végtelenbe» egy pont, akkor ugyanahhoz a határhelyzethez jut, s hogy a különböző irányokban «végtelenbe távozott» pontok nem kört, hanem egyenest alkotnak. Jobb tehát, ha lemondunk arról, hogy az újonnan bevezetett pontoknak és egyeneseknek ilyesfajta szemléletes jelentést adjunk. Jobbnak mondhatjuk ezért az ideális pont és ideális egyenes elnevezéseket, mert a «végtelen távoli» jelző zavaros gondolatokra csábíthat. ”

Hajós György tanácsát mi is követhetnénk a kételemű számok esetében, de én szívesebben játszom el a „végtelen távoli” jelzővel. Ha az ember ismeri a veszélyt, akkor csökken a tévedés kockázata. A kételemű számokhoz eleve azzal a „szentségtörő” gondolattal jutottam el, hogy helyiértékes alakban ábrázoltam a „valós végtelent”. Akkor lesz hasznos tudni, hogy a kételemű számok valamilyen módon kapcsolódnak a végtelen szám ábrázolásához, amikor a fizikai felhasználhatóságukról lesz szó. Már most is felhozható példaként az, hogy akármilyen nagy sugara van egy görbült felületnek – gömbnek, hiperboloidnak – akkor is felismerhető a felület görbületének típusa a felület akármilyen kicsiny felületdarabkáján a háromszögek szögösszegének tulajdonságából. Ugyanezt tapasztaljuk a kételemű számok háromszög-egyenlőtlenségénél, pontosabban a számsíkokon bevezetett abszolút-érték tulajdonságán. Természetesen az analógiákat valóban óvatosan kell kezelni, és csak ötletadásra kell őket használni, nem arra, hogy minden tulajdonságot azonosnak gondolok az analógia alanyában és tárgyában.

_____________________________________

¹  A ...999-es számmal és a 0,999... = 1 egyenlőséggel kapcsolatos gondolatok, viták, bizonyítások egy tűrhető leírása megtalálható a Wikipédián.

² A szakirodalomban sok elnevezést használnak rá. A fenti megnevezésen kívül a legelterjedtebb a perplex számok elnevezés.

³ A szakirodalomban ezeknek a számoknak is több elnevezésével találkoztam, gyakori például a duális számok elnevezés.