vasárnap, 11 december 2011 19:56

A matematikai folytonosságról

Írta:
Értékelés:
(0 szavazat)

Nagyon tanulságos, ahogy Poincaré megkülönbözteti a matematikai és fizikai folytonosságot[1], de még érdekesebb az, amint a folytonosságot szemléli. A matematikai folytonosság különböző rendjeinek fogalmát vezeti be; elsőrendű folytonosság az, amelyet a racionális számok számegyeneshez való hozzáadása biztosít, és másodrendű folytonosság az, amely akkor jelenik, meg, ha az irracionális számok is megjelennek a számegyenesen[2].

Ezek után Poincaré ír az infinitezimálisok különböző rendjeiről is, de itt már hiányérzetem támadt.[3] Poincaré nem ad arra receptet, milyenek lehetnének azok az első- másod- és harmadrendű kicsinyek. Poincarénak a folytonosság kiteljesedését leíró rend-fogalmai még érthetőek, de a parányokra alkalmazott hasonló fogalom már kevésbé.

A kételemű számok intenzív végtelen értelmezésénél – lásd Problémák Cantor diagonális módszerének használatában című írás utolsó bekezdését – megjelennek ezek a Poincaré-féle új infinitezimálisok. Érdekesség viszont, hogy ezek az infinitezimálisok – nevezzük őket másodrendű parányoknak – már nem bővítik a folytonosságot, hanem ellenkezőleg, megszüntetik azt, legalábbis a klasszikus értelemben vett folytonosságot. Ha bevezetem a végtelen kicsi mértéket[4] – azaz a klasszikus, vagy valós folytonosságot definiáló „közelségnél” kisebb kicsit, – és azt mondanám, hogy ilyen léptékben is léteznek számok, akkor szétrombolom a klasszikus folytonosságot. Ez történik a kételemű számoknál a parabolikus, és a hiperbolikus esetben, ahol minden valós szám környezetében[5] léteznek olyan számok, melyeknek távolsága az adott számtól a ’j’[6] illetve ’i’[7] másodrendű számok valós számszorosa. A komplex számsíkon azért adott a klasszikus folytonosság, mert épp ez a számsík az, ahol nincs végtelen kicsi távolságra szám.

Tehát a kételemű számok tekinthetők egy olyan számbővítésnek a végtelen infinitezimálisok felé parabolikus és a hiperbolikus esetben, hogy ezeken számsíkokon a klasszikus folytonosság megszűnik, azaz bizonyos számcsoportok között a mérték minőségileg változik, „ugrik”. Ilyen értelemben, azaz elérhetőség szempontjából ez az intenzív végtelen fogalom megegyezik a Cantor-féle extenzív végtelen fogalmával.

Egyre inkább erősödik bennem az a gondolat, hogy – bevezetve a végtelenül kicsi parányokat – sokkal inkább valamiféle sűrűség-fogalmat kellene bevezetni a Cantor-féle számosság, és rend fogalmak használata helyett. A matematikai sűrűség sokféle; topológiai, valószínűségi, stb. A kontinuumhipotézis szignifikánsan különböző alternatíváihoz a valószínűségszámítás sűrűség-fogalma tűnik logikus választásnak, viszont a kételemű számok tulajdonságai inkább a topológiai sűrűség használatának eredményességét sugallják. Vagy mindkettőt definiálni kellene, majd megfeleltetni egymásnak.

_____________________________________________

[1] Amint ezt a „Tudomány és feltevés” című művében leírta, amely sokkal inkább tudományfilozófiai értekezés, mint matematikai írás.

[2] Idézve Poincarét: „Legyen szabad a rövidség kedvéért elsőrendű matematikai folytonosságnak neveznem a tagok oly halmazát, összességét, mely ugyanazon törvények szerint alakul, mint a racionális számok sorozata. Ha most ide új tagokat iktatunk be az összemérhetetlen számok képezésének törvényei szerint, az így nyert sokaságot a továbbiakban másodrendű folytonosságnak fogjuk nevezni.”

[3] Idézve:„ Tudjuk, hogy a matematikusok különböző rendű végtelen kicsinyeket különböztetnek meg, s hogy például az ilyen u. n. másodrendű végtelen kicsiny nemcsak abszolút méreteiben, hanem még az elsőrendű végtelen kicsinyhez viszonyítva is végtelen kicsiny. Nem nehéz elképzelni valamely tört rendű végtelen kicsinyt, s a végtelen kicsiny rendszáma akár irracionális szám is lehet, és itt ismét felleljük a matematikai folytonosságnak ama sorozatát, mely éppen az előbbi fejtegetések tárgyát képezte.”

[4] Ha a számsíkokon definiált normát, vagy abszolútértéket tekintem mértéknek, bár ez a mértéknek egy általánosabb alakja, hiszen nem mindig pozitív valós.

[5] A környezetet a fent meghatározott mértékből kell származtatni.

[6] A parabolikus számsíkon minden számhoz tartozik még egy „számegyenes”, amelynek számai ’j’-szeres távolságra vannak az adott számtól. Nevezhetném ezt inkább végtelen kicsi mértékű „környezetnek”.

[7] A hiperbolikus számsíkon minden számhoz tartozik még két „számegyenes”, amelynek számai ’j’-szeres távolságra vannak az adott számtól, és a számegyenesek „közötti” számok ’i’-szeres tábolságra vannak az adott számtól. Mivel a rendezettség nem definiált, ezért egyelőre a között-relációnak sincs igazán értelme.

Megjelent: 1207 alkalommal Utoljára frissítve: szombat, 06 augusztus 2016 11:33
A hozzászóláshoz be kell jelentkezned