2015 (8)

2015. december 17., csütörtök 16:09

A geometriai algebra alapelemei és a számok IV.

Írta:
Ebben a témában ott fejeztem be az előző írást, hogy jó lenne, ha a geometriai algebrában is hasonlóan kezelnénk a skalárokat, mint a kételemű számok1 síkjain a valós számokat. A kételemű számok egyike, a hiperbolikus számok síkja a valódi téridőt modellezi, amennyiben a valós tengelyt az idő-tengelynek, a képzetes tengelyt egy tér-dimenziónak tekintjük.2 Ebből a modellből következően logikus gondolat a valós számokat – azaz a skalárokat – a geometriai algebrában is „idő-szerűnek” tekinteni, és az Euklideszi vektortérre merőleges egyenesen ábrázolni. Így a valós számokra is vektorként tekinthetek, mégpedig olyan vektorként, mely merőleges az Euklideszi terem valamennyi térvektorára, bármit jelentsen is egyelőre ez a merőlegesség. Ha a merőlegességet a skalárszorzat eltűnésével definiáljuk, akkor az időtengely és az Euklideszi tér merőlegessége miatt…
Utoljára frissítve: 2015. december 17., csütörtök 16:20
Az idő-fogalom és a geometriai algebra „Csak Grassmann külső szorzatának tükrében válik érthetővé, hogy milyen tényleges geometriai fontossága van a görögök körültekintő megkülönböztetésének a szám és a terjedelem között. Ez körülbelül megfelel a skalár és a vektor közötti különbségnek. Tulajdonképpen a görög terjedelmet úgy adták össze, mint skalárt, de úgy szorozták, mint vektort, így a terjedelmek szorzása a görögöknél magával hozza az irány és a dimenzió fogalmát, és Euklidesznek tökéletesen igaza volt, amikor ezeket megkülönböztette a görög számok (mostani skalárjaink) szorzásától.” /David Hestenes, A klasszikus mechanika új alapjai/1 1. Emlékeztető2 a kételemű számokon definiált speciális szorzatokról A kételemű számokon definiált skaláris, ferde skaláris, valamint geometriai szorzattal kapcsolatos egyenlőségek nem minden esetben egyeznek meg az axiomatikus geometriai algebrából ismertekkel. Ezek az…
Utoljára frissítve: 2015. november 06., péntek 10:08
Könyv előzetes Az előző cikkemben említett Hestenes könyv mellett beszereztem a Doran-Lasenby szerzőpáros könyvét is a geometriai algebra – rövidítve GA – fizikai alkalmazásairól. Sokan és sokat dicsérték ezt a könyvet, mint a GA-t érthetően bemutatót és a GA sok fizikai alkalmazását tárgyaló gyűjteményt. Én ez utóbbira vagyok kíváncsi, mert Hestenes említett könyve csak egy szűk körét említi a fizikai alkalmazásoknak. Még nem tudok véleményt formálni a könyvről, mert ezt is most kezdtem el olvasni Hestenes könyvével együtt. A könyv témáit illusztrálandó mellékeltem a könyv tartalomjegyzékét.
Utoljára frissítve: 2015. augusztus 25., kedd 17:28
Könyv előzetes David Hestenes egyik könyvéről tettem már korábban említést1; „Clifford Algebra to Geometric Calculus – A Unified Language for Mathematics and Physics”, melynek társszerzője Garret Sobczyk. A régebben említett, és a címben most idézett könyv is a geometriai algebra – vagy, ahogy rövidítve emlegetik; GA – alapjainak bemutatásával kezdődik, de míg amaz a GA matematikai kifejtése, addig a címbeli a matematikai alapok bemutatása után az alkalmazásokra koncentrál a fizika néhány jelentős területén. A könyvről részletesebben nem tudok még szólni, mivel csak most szereztem be, és kezdtem el olvasni. A véleményem helyett álljon itt egy rövid részlet, a sok hozzászólásból, melyet az amazon.com-on olvastam:
Utoljára frissítve: 2015. augusztus 25., kedd 17:07
2015. augusztus 22., szombat 18:26

A grossone elméletről

Írta:
Yaroslav D. Sergeyev és a végtelen1 A grossone elméletben azt tartom nagyon vonzónak, hogy megpróbál elszakadni Cantor kezdetben nagyon gyümölcsöző, de ma már – véleményem szerint – a fejlődést akadályozó végtelen-elképzelésével. A Cantor-féle végtelen-fogalommal kapcsolatos problémáimat legjobban a diagonális módszerének kritikájával tudtam megfogalmazni.2 A grossone elmélet atyja Sergeyev abban látja a Cantori végtelen-modell elégtelenségét, hogy a modell szerint egy halmaz és részhalmazának számossága azonos lehet, azaz a rész egyenlő lehet az egésszel. Ez ellentmond ösztönös szemléletünknek, hiszen körülöttünk a világot olyannak ismertük meg, mely szerint a rész kisebb, mint az egész. Erre az intuitív meglátásra alapozva a grossone modell posztulálja, hogy a rész kisebb az egésznél végtelenek esetén is. Így Sergeyev Cantor-kritikája nem matematikai alapokon nyugszik, hanem az úgynevezett józanész…
Utoljára frissítve: 2015. augusztus 22., szombat 20:23
A bivektor és a paralelogrammák ekvivalenciája a három számsíkon Előzmények Emlékeztetőül felsorolok néhány eddig bevezetett fogalmat. Korábbi kis cikkemben1 írtam arról, hogy mindhárom számsíkon azonos módon definiálható egy szimplektikus forma az ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = x1y2 – x2y1 leképezéssel, ahol a felülvonás a szám konjugáltját jelzi, Im pedig a mögötte álló képzetes részét. Ennek a leképezésnek a számok koordinátáira átírt formája azonos a három számsíkon, és akkor egyenlő 0-val, ha x1y2=x2y1 azaz y1/x1=y2/x2, tehát ha a két számvektor egy egyenesre illeszkedik. Másképpen megfogalmazva ez a ferde skaláris szorzat akkor 0, ha az egyik vektor a másik vektor számszorosa. Bevezettem egy szorzatfüggvényt is a kételemű számok mindegyikére a következő alakban: Π(z1,z2) = z̄1z2 = ˂z1,z2> + δ ω(z1,z2) ahol δ =…
Utoljára frissítve: 2015. április 21., kedd 15:17
Út a végtelenekhez? "A matematika a tudományok királynője, és a matematika királynője a számelmélet." (Carl Friedrich Gauss) Az algebra a számolás tudományaként indult, majd a műveletek általános, absztrakt területévé vált. A geometria a földmérésből fejlődött ki, és a térbeli összefüggések elméleti tudománya lett. A matematika egyre elvontabbá válásával mind nagyobb szükség volt az absztrakciók gyakorlatba való átültetésére, azaz a számítási és mérési módszerekre. Ezzel a matematika kettéágazott elméleti és alkalmazott matematikára, melyek tovább tagolódtak esetenként hatalmas tudományágakra. Nem szorul magyarázatra, hogy a számok világa miért az egyik legfontosabb kutatási területe mind az elméleti, mind az alkalmazott matematikának. A számok tudománya töretlenül a matematika legfontosabb területe, Gausst idézve a „matematika királynője”.1 A geometriai algebra a számok egy újfajta geometriai absztrakciója. Most…
Utoljára frissítve: 2015. április 21., kedd 14:26
Kivonat Egy korábbi cikkemben1 írtam már arról, hogyha a kételemű számokat végtelen távoli pontokkal kiegészített számegyenesként értelmezem, akkor homogén koordinátákat definiálva ezeken a számegyeneseken; a kételemű számok síkjához juthatunk. Abban a cikkben csak a parabolikus számsík modelljét említettem, mert ez hozható összefüggésbe a klasszikus projektív geometriával, hiszen ez az a modell, amelynek képzetes eleme úgy tekinthető, hogy egyetlen végtelen távoli elemet illesztettünk a számegyenes tetszőlegesen nagy számai után. Érdemes végiggondolni a komplex és a hiperbolikus számsík számegyenesként való értelmezését is. A projektív geometria szóhasználatát követve a (szám)egyenes végtelen távoli pontjait ideális pontoknak is fogom nevezni. A homogén koordinátákra való áttéréssel mindhárom számsíkot olyan számegyenesként értelmezhetjük, melyek tartalmazzák a végtelen nagy, azaz ideális számpontokat is a parabolikus és a hiperbolikus esetben.…