Ebben a témában ott fejeztem be az előző írást, hogy jó lenne, ha a geometriai algebrában is hasonlóan kezelnénk a skalárokat, mint a kételemű számok1 síkjain a valós számokat. A kételemű számok egyike, a hiperbolikus számok síkja a valódi téridőt modellezi, amennyiben a valós tengelyt az idő-tengelynek, a képzetes tengelyt egy tér-dimenziónak tekintjük.2 Ebből a modellből következően logikus gondolat a valós számokat – azaz a skalárokat – a geometriai algebrában is „idő-szerűnek” tekinteni, és az Euklideszi vektortérre merőleges egyenesen ábrázolni. Így a valós számokra is vektorként tekinthetek, mégpedig olyan vektorként, mely merőleges az Euklideszi terem valamennyi térvektorára, bármit jelentsen is egyelőre ez a merőlegesség. Ha a merőlegességet a skalárszorzat eltűnésével definiáljuk, akkor az időtengely és az Euklideszi tér merőlegessége miatt…

Az idő-fogalom és a geometriai algebra „Csak Grassmann külső szorzatának tükrében válik érthetővé, hogy milyen tényleges geometriai fontossága van a görögök körültekintő megkülönböztetésének a szám és a terjedelem között. Ez körülbelül megfelel a skalár és a vektor közötti különbségnek. Tulajdonképpen a görög terjedelmet úgy adták össze, mint skalárt, de úgy szorozták, mint vektort, így a terjedelmek szorzása a görögöknél magával hozza az irány és a dimenzió fogalmát, és Euklidesznek tökéletesen igaza volt, amikor ezeket megkülönböztette a görög számok (mostani skalárjaink) szorzásától.” /David Hestenes, A klasszikus mechanika új alapjai/1 1. Emlékeztető2 a kételemű számokon definiált speciális szorzatokról A kételemű számokon definiált skaláris, ferde skaláris, valamint geometriai szorzattal kapcsolatos egyenlőségek nem minden esetben egyeznek meg az axiomatikus geometriai algebrából ismertekkel. Ezek az…

Könyv előzetes Az előző cikkemben említett Hestenes könyv mellett beszereztem a Doran-Lasenby szerzőpáros könyvét is a geometriai algebra – rövidítve GA – fizikai alkalmazásairól. Sokan és sokat dicsérték ezt a könyvet, mint a GA-t érthetően bemutatót és a GA sok fizikai alkalmazását tárgyaló gyűjteményt. Én ez utóbbira vagyok kíváncsi, mert Hestenes említett könyve csak egy szűk körét említi a fizikai alkalmazásoknak. Még nem tudok véleményt formálni a könyvről, mert ezt is most kezdtem el olvasni Hestenes könyvével együtt. A könyv témáit illusztrálandó mellékeltem a könyv tartalomjegyzékét.

Könyv előzetes David Hestenes egyik könyvéről tettem már korábban említést1; „Clifford Algebra to Geometric Calculus – A Unified Language for Mathematics and Physics”, melynek társszerzője Garret Sobczyk. A régebben említett, és a címben most idézett könyv is a geometriai algebra – vagy, ahogy rövidítve emlegetik; GA – alapjainak bemutatásával kezdődik, de míg amaz a GA matematikai kifejtése, addig a címbeli a matematikai alapok bemutatása után az alkalmazásokra koncentrál a fizika néhány jelentős területén. A könyvről részletesebben nem tudok még szólni, mivel csak most szereztem be, és kezdtem el olvasni. A véleményem helyett álljon itt egy rövid részlet, a sok hozzászólásból, melyet az amazon.com-on olvastam:

Yaroslav D. Sergeyev és a végtelen1 A grossone elméletben azt tartom nagyon vonzónak, hogy megpróbál elszakadni Cantor kezdetben nagyon gyümölcsöző, de ma már – véleményem szerint – a fejlődést akadályozó végtelen-elképzelésével. A Cantor-féle végtelen-fogalommal kapcsolatos problémáimat legjobban a diagonális módszerének kritikájával tudtam megfogalmazni.2 A grossone elmélet atyja Sergeyev abban látja a Cantori végtelen-modell elégtelenségét, hogy a modell szerint egy halmaz és részhalmazának számossága azonos lehet, azaz a rész egyenlő lehet az egésszel. Ez ellentmond ösztönös szemléletünknek, hiszen körülöttünk a világot olyannak ismertük meg, mely szerint a rész kisebb, mint az egész. Erre az intuitív meglátásra alapozva a grossone modell posztulálja, hogy a rész kisebb az egésznél végtelenek esetén is. Így Sergeyev Cantor-kritikája nem matematikai alapokon nyugszik, hanem az úgynevezett józanész…

A bivektor és a paralelogrammák ekvivalenciája a három számsíkon Előzmények Emlékeztetőül felsorolok néhány eddig bevezetett fogalmat. Korábbi kis cikkemben1 írtam arról, hogy mindhárom számsíkon azonos módon definiálható egy szimplektikus forma az ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = x1y2 – x2y1 leképezéssel, ahol a felülvonás a szám konjugáltját jelzi, Im pedig a mögötte álló képzetes részét. Ennek a leképezésnek a számok koordinátáira átírt formája azonos a három számsíkon, és akkor egyenlő 0-val, ha x1y2=x2y1 azaz y1/x1=y2/x2, tehát ha a két számvektor egy egyenesre illeszkedik. Másképpen megfogalmazva ez a ferde skaláris szorzat akkor 0, ha az egyik vektor a másik vektor számszorosa. Bevezettem egy szorzatfüggvényt is a kételemű számok mindegyikére a következő alakban: Π(z1,z2) = z̄1z2 = ˂z1,z2> + δ ω(z1,z2) ahol δ =…

Út a végtelenekhez? "A matematika a tudományok királynője, és a matematika királynője a számelmélet." (Carl Friedrich Gauss) Az algebra a számolás tudományaként indult, majd a műveletek általános, absztrakt területévé vált. A geometria a földmérésből fejlődött ki, és a térbeli összefüggések elméleti tudománya lett. A matematika egyre elvontabbá válásával mind nagyobb szükség volt az absztrakciók gyakorlatba való átültetésére, azaz a számítási és mérési módszerekre. Ezzel a matematika kettéágazott elméleti és alkalmazott matematikára, melyek tovább tagolódtak esetenként hatalmas tudományágakra. Nem szorul magyarázatra, hogy a számok világa miért az egyik legfontosabb kutatási területe mind az elméleti, mind az alkalmazott matematikának. A számok tudománya töretlenül a matematika legfontosabb területe, Gausst idézve a „matematika királynője”.1 A geometriai algebra a számok egy újfajta geometriai absztrakciója. Most…

Kivonat Egy korábbi cikkemben1 írtam már arról, hogyha a kételemű számokat végtelen távoli pontokkal kiegészített számegyenesként értelmezem, akkor homogén koordinátákat definiálva ezeken a számegyeneseken; a kételemű számok síkjához juthatunk. Abban a cikkben csak a parabolikus számsík modelljét említettem, mert ez hozható összefüggésbe a klasszikus projektív geometriával, hiszen ez az a modell, amelynek képzetes eleme úgy tekinthető, hogy egyetlen végtelen távoli elemet illesztettünk a számegyenes tetszőlegesen nagy számai után. Érdemes végiggondolni a komplex és a hiperbolikus számsík számegyenesként való értelmezését is. A projektív geometria szóhasználatát követve a (szám)egyenes végtelen távoli pontjait ideális pontoknak is fogom nevezni. A homogén koordinátákra való áttéréssel mindhárom számsíkot olyan számegyenesként értelmezhetjük, melyek tartalmazzák a végtelen nagy, azaz ideális számpontokat is a parabolikus és a hiperbolikus esetben.…