„emberi művet
csak abbahagyni lehet:
befejezni: nem”
/Fodor Ákos, Axióma/

Ma, 2022. október 19-én ünneplem a weboldalam 11. születésnapját.

A mottóbéli Fodor Ákos haikuja mellé szintén tőle választottam egy idézetet, mert ugyanaz az én alapelvem is, amikor a honlapomra írok: 

„Ars poeticám”?
– Olyat írni, amilyet
olvasni vágynék.
/Fodor Ákos, Interjú/

Avagy az intenzív és az extenzív végtelen

„Ahhoz, hogy megismerjük azoknak a számoknak a természetét, amelyek szerint például a "geometriai távolságot" meg kell határozni, tudnunk kell, hogy mi történik mind a végtelenül kis, mind a végtelenül nagy távolságban. Ezek a kérdések még ma sincsenek egyértelműen megoldva.”
(Roger Penrose)

Eddig másról sem írtam, mint arról, hogy a kontinuumhipotézist (CH) és alternatíváit modellező kételemű számok képzetesei a végtelent mind végtelenül kicsiben (az intenzív végtelenben), mind pedig végtelenül nagyban (az extenzív végtelenben) modellezik, azaz a végtelennek olyan minőségében eltérő jellegét ábrázolják, amely mind az intenzív, mind az extenzív végtelen sajátja. A projektív geometria ideális elemei is érzékeltetnek valami hasonlót, amelyek ugyan intuitív módon egy „végtelen távoli” ponttal és egyenessel bővítik az egyenest, illetve a síkot, de e „végtelenséget” nem mennyiségileg jellemzik a matematikai leírásban – ez ellentmondásokhoz vezetne –, hanem egy egyenes vagy egy sík állásával szemléltetik. Így a „messze távol” értelmezése itt is lehet akár intenzív, akár extenzív végtelen abban az értelemben, hogy már nem mennyiségként ábrázolt a végtelen, hanem olyan minőségileg új elemként reprezentált, amely mindkét esetet ábrázolhatja.

A teljes szöveg PDF-ben itt található, 2023. november 7-én néhány értelmező mondattal kiegészítettem a transzfinit egészek és a transzfinit törtek bevezetésének paragrafusát, továbbá egy szó-hibát javítottam, egyet töröltem.

Röpke gondolatok Mérő László előadását hallgatva

A napokban Mérő László egy régi, 2015-ben tartott előadását¹ hallgattam a neten. Az előadás témájául szolgáló, eredetileg 2014-ben megjelent könyvet nem olvastam, gondolataimat kizárólag az előadáson elhangzottak inspirálták, és a teljesség igénye nélkül csak néhány témát érintek, amelyben nem értek egyet az alkotóval.

A teljes anyag PDF-ben itt található.

______________________

¹ Harmadik Kor Egyeteme - Mérő László: A csodák logikája; https://www.youtube.com/watch?v=2wvl2jN5tXk

Vigyázat, spoiler!

Egy nagylélegzetű munkával vagyok elfoglalva. „Az intenzív és az extenzív végtelenről” címmel foglalom össze, hogy mit tudok a végtelenről kicsiben és nagyban. A végtelen képzetes számokkal való modellezése nagyon érdekes dolgokra derít fényt. Például kiderül, hogy Abraham Robinson nemsztenderd analízise miért nem hozott újat. Az ok az, hogy lényegét tekintve nem különbözik a sztenderd analízistől, ez is, az is egyfajta infinitezimális fogalmán alapszik, csak a klasszikus analízisben ezt elrejtik az „epszilon-deltás” definíciók. Mindig is elgondolkodtatónak éreztem, és állandóan ott motoszkált bennem egy régen olvasott megállapítás: „Helyénvalónak látszik … megjegyeznünk, hogy a kontinualitás a végtelenség egyik formája, csakhogy nem extenzív, hanem intenzív típusú. Ez a tér és az idő „belső” végtelenségét jellemzi.”¹ Ma már tudom, hogy miért izgatott ez, és hogy miért igaz. Wilhelm Leibniz törekvése a számfogalom végtelenül kicsi és végtelenül nagy számokkal való kibővítésére tulajdonképpen jó ötlet volt, még az ötletadó képzetes számok is jó helyről érkező sugallat volt. De a kudarcot is a komplex számok képzetese okozta, mivel épp a komplex képzetesek modellezik az infinitezimálisok vagy az extenzív végtelenek hiányát. A parabolikus (duális) és a hiperbolikus képzetesek modelleznek intenzív és extenzív végteleneket, ezekre lett volna szüksége Leibniznek, hogy programját véghez vigye. Nekem meg Leibnizre lenne szükségem, hogy segítségemre legyen a számfogalom új bővítéseinek kidolgozásában és hasznának láttatásában.

________________________________

¹ Lásd E. M. Csugyinov, „A Világegyetem végtelenségének problémája a relativisztikus kozmológiában a logika szemszögéből” című cikkét a „Végtelenség és világegyetem” kötetben (240. oldal), Gondolat - Budapest, 1974

Egy nagyon személyes álom

“Több dolgok vannak földön és egen,
Horatio, mintsem bölcselmetek
Álmodni képes.”
(William Shakespeare, Hamlet)

Egyetlen vigaszom van, ahogy elnézem emberi világunkat – többünk érzései szerint a XXI. századot meghazudtoló – háborúskodásokat, gyűlölködéseket. E vigasz egy párhuzam gondolata a kozmikus ősrobbanás és a jelenlegi földi káosz között. Amint a kezdetek kezdetén az első struktúrák – elektronok, protonok – kialakulását is a megsemmisülések-újraszületések örvénylő őslevese előzte meg, ugyanezt remélem a földi biológiai massza – közöttük az emberiség – jelenlegi önpusztító, egymást bekebelezni próbáló időszakát követő világról, amelyet a majdnem halhatatlan elemi részekhez hasonló élettartamú struktúrák népesítenek majd be. Kérdés, hogy e jövő most születő elemi egységei a stabilitáson még innen vannak, vagy már túl. Remélem, hogy túl. A tudatlanságunkat jelképező sötét anyag paradox módon azzal az optimizmussal tölt el, hogy valóban létezhet hordozója, vagy megtestesítője a biológiai őskáoszból „kilépett” új struktúráknak.

A polinomegyenletek megoldásainak hiányosságai

„A matematika (…) egyáltalán nem lezárt tudomány. Még olyan alapvető dolgok területén is, mint a számok és mértani alakzatok, a tudatlanságunk sokkal nagyobb a tudásunknál.”
(Jordan Ellenberg)¹

A matematikai végtelenfogalom módosításának szerteágazóak a következményei, ezek közül többet említettem már, ha részleteiben nem is fejtettem ki mindegyiket. Fontos tulajdonsága ennek a végtelenfogalomnak, hogy szoros kapcsolatban áll Cantor kontinuumhipotézisével (CH)², és vele a halmazelmélet axiomatikus megalapozásával, hiszen a CH és alternatíváinak számszerűsített változatával³ három, a CH-ban különböző halmazelméletet „gyárthatunk”, hasonlóan ahhoz, amint a geometriában a háromszögek szögösszegeinek definiálásától függően más-más geometriához jutunk. A CH számszerűsített változatával a valószínűségszámítás is egységesíthető, és három eltérő változata axiomatizálható.⁴ Ha mindez nem elég, akkor feltétlenül meg kell említeni, hogy a valós tereinket leíró legelemibb összefüggések is e CH-variációk számmodelljeivel, a kételemű számokkal írhatók le, hiszen a parabolikus egységvektorokkal való szorzás a Galilei-transzformációt modellezi, a hiperbolikus egységvektorral való szorzás pedig a Lorentz-transzformációt.⁵

Nem írtam azonban olyan, az elemi algebrát érintő változtatási szükségletekről, amelyeknek szintén messzemenő következményei vannak. Ezek egyikéről szól ez a cikk.

__________________________________

¹ Jordan Ellenberg, Hogy ne tévedjünk – A mindennapi élet rejtett matematikája, Park Könyvkiadó, 2016, 20. oldal

² A CH feltételezése szerint a valós számok számossága – azaz a kontinuumszámosság – nagyobb a természetes számok számosságánál, a megszámlálható soknál, és közöttük nincs más végtelen nagy számosság

³ Lásd erről például a témát összefoglaló „Hilbert 1-es és 6-os problémájának összekapcsolása” című cikket:
https://www.infinitemath.hu/archivum/egyeb/372-hilbert-1-es-es-6-os-problemajanak-osszekapcsolasa

⁴ Lásd erről az „Egy univerzális valószínűségszámítás felé, III., Befejező rész” című cikket;
https://www.infinitemath.hu/archivum/matematika/374-egy-univerzalis-valoszinusegszamitas-fele-iii-befejezo-resz

⁵ Lásd erről „A Galilei-transzformáció és a parabolikus számok” című cikket;
https://www.infinitemath.hu/matematika/412-a-galilei-transzformacio-es-a-parabolikus-szamok 

A teljes anyagot itt lehet letölteni.

Ma éjjel tönkretettem a jó öreg e-könyv olvasómat. Olvasás közben elaludtam, majd levertem a kütyüt, végül balszerencsésen ráléptem, amikor felkeltem. Ezek után csoda, hogy még bekapcsolható, és még az érintőkijelzője is mutat valamit, persze lényegében használhatatlan. Első eset, hogy – ha akaratlanul is – de fizikailag rongáltam meg egy kütyüt.

Töprengések

„Ősidők óta egyetlen kérdés sem kavarta fel annyira az emberek érzelmeit, mint a végtelennek a kérdése. Olyan gyümölcsöző hatással volt az észre, mint talán egyetlen más eszme sem. Mindamellett nincs még egy olyan fogalom, amely annyira tisztázásra szorulna, mint ez.”
(David Hilbert)¹

Ami itt következik az ugyan a számokról szól, de nem az egzakt matematika nyelvén. A számok egynémely tulajdonságával, mibenlétével kapcsolatos töprengéseimet foglalom össze.
A számok elvont fogalma több jelentéssel bír a gyakorlatban, hiszen még a nyelvtanban is megkülönböztetjük a sorszámokat a számoktól, azaz a számoknak valamiféle rendezettségre utaló jelentését a mennyiségre vonatkozó értelmétől. A számegyenesen pedig egy természetes számot jelölő pont, például a 3-at jelölő, egyszerre jelenti a harmadik természetes számot, továbbá az origótól való 3 egységnyi távolságot.² A számoknak e két értelme különböző műveleteket takar: az egyiket számolom, a másikat mérem. Ezzel szemben épp a mérésekkel kapcsolatban állapítottam meg egy korábbi cikkemben³, hogy a számolás is szerves része a mérésnek, hiszen a mérés nem más, mint egy egységül választott alakzatot, mint mértékegységet – a mértékre invariáns transzformációval – „rámozgatva” a mérendő objektumra, megszámlájuk, hány mértékegységnyi alakzattal tudjuk „kitölteni” a mérendő objektumot.

_______________________________

¹„From time immemorial, the infinite has stirred men's emotions more than any other question. Hardly any other idea has stimulated the mind so fruitfully. Yet, no other concept needs clarification more than it does.”(David Hilbert, „On the infinite”)
https://math.dartmouth.edu/~matc/Readers/HowManyAngels/Philosophy/Philosophy.html

² A számok a rend és a mennyiség jelzésén kívül másra is használatosak, például címkézésre, azaz objektumok azonosítására.

³ Lásd a „Szimmetriák és téridők” című cikket; https://www.infinitemath.hu/egyeb/426-szimmetriak-es-teridok 

A teljes cikk itt tölthető le PDF-ben. Az anyagot 2022. április 9-én javítottam, mert elírtam Leibniz nevét. Restellem a hibát, hiszen még az anekdotát is ismerem a t betű hiányáról a név végén.

Szubjektív vissza- és előretekintés

Kivonat

Két fontos elemet tartok lényegesnek a szemléletünk átalakítására. Egyrészt átfogó – a matematika egészét érintő – paradigmaváltozást hoz a végtelen fogalmának újraértelmezése, másrészt a fizikában szintén paradigmaváltást jelent az információ fizikai jellegének felismerése, az energiafajták közé sorolása, amely szintén kihat a fizika egészére. E paradigmaváltásoknak egyelőre csak a kezdetei látszanak, mert részletes kifejtésük és elterjedésük még hátra van, de már most is ragyogó távlatokat rajzolnak elénk.

Tartalom

1. Bevezetés
2. Szemléletváltás a matematikában
3. Paradigmaváltás a fizikában
4. A QM és a rejtett változók
5. Konklúzió

A teljes anyag PDF-ben itt található.

„Szimmetria- és invariancia-megfontolások – valamint a megmaradási tételek is – kétségtelenül már korán szerepet játszottak a fizikusok, így Galilei és Newton gondolkodásában, s valószínűleg még őelőttük is. Ezeket a megfontolásokat azonban nem tekintették különösen fontosnak, és csak ritkán fogalmazták meg világosan.” (Wigner Jenő)

1. Bevezető

Már egy évszázada annak, hogy a csoportelmélet bevonult a fizika eszköztárába, és gyümölcsözőnek bizonyult. E matematikai fogalomrendszernek egyszerre előnye és hátránya a túlzott általánossága, hiszen egyrészt univerzális jellege folytán a fizika távoli területei írhatók le ugyanazzal az eszközzel, másrészt ahogy mondani szokták, ami mindenre jó, az igazán semmire sem jó, így egymás után jelentek meg specifikus algebrai struktúrák, amelyek egy adott területen már valóban használhatónak bizonyultak. Mindenesetre a matematikai fizikában a csoport-művelettel jól modellezhető egy-egy olyan fizikai változás, amelynek inverze is létezik, azaz megfordítható, és egységnyi változás – mértékcsoportnál mértékegység – definiálható vele kapcsolatban. A csoportelmélet fizikai alkalmazásában fontos szerepet töltenek be a szimmetriák, ezek olyan transzformációk, amelyek egy objektum bizonyos tulajdonságait változatlanul hagyják. Még ennél is szűkebb csoporttal fogok most foglalkozni, a mozgásszimmetriákkal. A velük kapcsolatos legfontosabb fogalmak tisztázása a célom, és a saját megközelítéseimről is újból szót ejtek, mert ezek magyarázata is szükséges a visszajelzések alapján.

A teljes szöveg PDF fájlban itt található. A megjelenés után 3 órával egy betűhiba javítva a Mellékletben. 2022. február 28-án egy előjel-hiba javítva a Melléklet (M3) egyenletében.