Tartalom: A kételemű számok három alapvető rendszere tulajdonságainak összehasonlítása; a komplex, a hiperbolikus és a parabolikus (más néven Study-féle) számok rendszerében az alapműveletek aritmetikája és geometriája, ezek összehasonlítása, általános exponenciális alak bevezetése, szögfüggvények és hiperbolikus függvények értelmezése ezeken a számrendszereken. (Egyéb szakirodalom: Catoni és szerzőtársai, további cikkeik az interneten például: http://arxiv.org)

*A teljes szöveg PDF fájlban itt található, 2014. december 3-án javított változat.

Ha a létezőt úgy definiálom, hogy létezik az, aminek „hatása van”, akkor a potenciálisan létező is létező. A jelenbeli – a tér különböző pontján lévő – aktuálisan létezők nincsenek a jelenben hatással egymásra, hiszen bármely általunk ismert hatás véges sebességgel terjed, azaz időre van szükség, amíg egy hatás eljut a tér egyik pontjából a másikba. Érdekes tehát, hogy csak potenciálisan létező – azaz múltbeli, jövőbeli¹ – eseményeknek van hatása a jelenben. A múlt, mint potenciális létező hatása jól magyarázható az okozatisággal, de a jövő általi meghatározottság nem ennyire világos, sőt paradoxul hangzik.

A jövő képe, azaz egy előrevetített okozatiság az, ami befolyásolja itt és most az eseményeket. Ez tulajdonképpen a múltra is igaz. Tehát a múlt emléke, emlékképe, és a jövő sejtése, egy jövőkép az, ami együttesen meghatározó itt és most. Ezeket a képeket felfoghatom jelenben aktuálisan létezőknek², így nem kell megküzdenem a potenciális lét hatásának gondolatával. Kérdés, hogy ez mennyire általánosítható a fizikai világra. Az emlékkép a kevésbé nehéz ügy; ezt lehet úgy definiálni, hogy ne csak a tudatos élőlényekre legyen értelmezhető, de minden anyagi létezőre is; mégpedig egy adott létezőn a létezési ciklusa alatt megőrzött külső hatások leképződéseként. A jövőkép a nehezebb ügy, bár ez sem nehéz, ha az emlékkép általánosítása már adott. Időtükrözésként is el tudnám képzelni, én azonban szívesebben fognám fel a jövőképet egyfajta információfeldolgozás eredményének, azaz a fent említett külső hatások leképződése összegzéseként a belső szerkezettel. Így nagyon tág értelemben véve; az információfeldolgozás minden szinten végbemegy, még az élettelen világban is. 

A múlt és a jövő befolyásának fenti leírásával jól meg tudom különböztetni a fizikai létező bonyolultságától függő emlék- és jövőképet, hiszen ezek a fizikai létezőre leképződő világ-képek annál pontosabbak, minél több pont- és vonal-elemre tudnak leképződni, tehát minél finomabb, bonyolultabb a tükröző közeg, azaz az adott fizikai létező.

Egy esemény bekövetkeztéhez - az energetikai folyamatokon kívül - még egy fontos elem hiányzik: a szabad választás. Ha csak az emlék-és jövőkép determinálna, akkor – bár determináltságában igen bonyolult – de mégis egy szigorúan determinált világot kapnánk. A mi világunkban viszont tapasztalataink alapján létezik a szabad akarat. Kétféleképpen jeleníthetem ezt meg: független elemként, vagy a determináló tényezők bonyolultságának függvényeként. Ez utóbbin azt értem, hogy a fizikai létező bonyolultságának növekedésével arányosan növekszik az adott fizikai létező mozgásának – cselekedetének – határozatlansága egy külső szemlélő számára. Ezt a határozatlanságot fogom szabad akaratnak nevezni, azaz a fizikai létezőnek az emlék-és jövőképek által determinált, a képek speciális, csak az adott létezőre jellemző feldolgozásával meghatározott választását, és ezen a választáson alapuló mozgását, vagy cselekvését. A képek, és feldolgozásuk minőségétől függ a szabad választás mértéke, és eredményessége, azaz minősége.

A matematika is foglalkozik a potenciális, és aktuális létezővel. A természetes számok halmaza potenciálisan végtelen. Cantor végtelen szám fogalma aktuális létezéssé tette a végtelen szám létét. Nem a meglévőkből konstruálta, hanem azt mondta, hogy azokon túl van, transzfinit. „Az aktuális végtelenségtől eltérően a potenciális végtelenség elemei egymásra következve keletkeznek felépítésük folyamatában, s nem egyidejűleg léteznek.³ … A konstruktivisták szemszögéből nézve a potenciális végtelenség lényegében egybeesik azzal a gondolattal, hogy létezhet a konstruktív objektumok felépítésének egy végtelen folyamata.”⁴ „Míg a «klasszikusok» az ilyen kritériumot túlságosan szűknek tartják. Nézetük szerint minden olyan bizonyítás, amely az ellentmondás-mentesség elvére támaszkodik, feljogosít bennünket arra, hogy a matematikai objektum létezéséről beszéljünk.”⁵

Így azt mondhatjuk, hogy a matematikai végtelen aktuális létbe emelésével Cantor a végtelen létét jelenlétté tette, azaz kinyilvánította, hogy a végtelen most létezik. A probléma csak az, hogy aktuális létük „megközelíthetetlen”, mert egy potenciálisan - azaz időbeliségében - létező végtelen előzi meg őket. Cantor elmélete elrejti ezt a megközelíthetetlenséget, a kételemű számoknál viszont a metrika tökéletesen tükrözi:

a végtelennek a végesbe  való projekciója/introjekciója a kételemű számokon modellezhető.

Az idő „folyása” a természetes számok felépítésének folyamatához hasonlít, az egyidejűleg létező – azaz a tér pontjai – pedig a transzfinit, azaz az egyidejűleg létező végtelenhez. A kételemű számok, mint végtelen-modellek annyiban térnek el a cantori végtelen fogalomtól, amennyiben Cantor egy nyílt számegyenesen képzelte egymás után a végtelenek sorát, addig a kételemű számok egy zárt számegyenesen képzelhetők el, hasonlóan ahhoz, amint a projektív geometriában egy ideális ponttal mintegy "körbe zárjuk" az egyenest.

¹ Ezek közé a képzelt esemény is bele tartozik, mint hibás múlt- vagy jövőkép.

² Karl Popper 3. világába tartozó képek.

³ Az egyidejű létüket a kiválasztási axióma definiálja. A kiválasztási axióma és az egyidejűség kapcsolata nagyon lényeges dolgot sejtet. A matematikában nincs idő-szerű fogalom. Szerintem ennek oka a kiválasztási axiómában rejlik; az definiálja az egyidejűséget. Ez nagyon fontos és jó irány.

⁴ G.I.Ruzavin: A végtelenség problémája a matematikában

⁵ U.o.

Sokak számára a hit fogalma a valláshoz, a gyermeki és a mitológiai képzeletvilághoz kapcsolódik szorosan. A hitnek ez az értelme azonban egy sokkal tágabb fogalom speciális esete. Én elsősorban a hit-fogalom általános értelmezésével szeretnék foglalkozni.

Mindenki számára ismert, hogy vannak dolgok, amit nagy valószínűséggel - pongyolán fogalmazva biztosan - tudunk, és vannak olyanok amelyekben hiszünk ugyan, de az információnk róla olyan szegényes, hogy ezt tudásnak semmiképpen nem nevezhetjük. A tudás és a hit tehát nem ellentétes fogalmak, éppen ellenkezőleg, mindkettő az információinkat minősíti, az egyik felértékeli, a másik óvatosan még kevésnek minősíti.

A filozófia problémáit is a matematika eszközeivel próbálom megközelíteni. Így a hit-tudás fogalompárost is matematikai hasonlattal közelítem meg. A tudást pontszerűnek képzelem az információ-mezőben, a hitet vektornak. Minél nagyobb valószínűsége van a hitnek, annál hosszabb vektornak gondolom, és annál nagyobb a hatóereje. A vektornak iránya van, mint a hitnek, ami a tetteinknek ad irányt. Pontosabban a tudáson alapuló hit az irányadó. Szemléletesebben: az anyagi pontoknak a tudáspontok felelnek meg, az erőtér megfelelője a hitrendszer, vagy másképp motivációs rendszer.

Hétköznapi példaként; akkor megyek el egy hangversenyre, ha azt hiszem, hogy kitűnő előadásnak leszek a részese. És ugyanígy ad irányt tetteimnek az Istenben való hit is. Az előbbi megfogalmazásokból az is kiderül, hogy amikor hitet teszek valami mellett, akkor egyben választok is, mégpedig irányt választok tetteimnek. A választásomat egy dolog befolyásolja lényegesen: a hit tárgyának pozitív valószínűségtartalma, azaz hitem szerint egy adott cselekvésnek nagy valószínűséggel pozitív kimenetele lesz. Ez nagyon jól nyomon követhető a hétköznapi választásainkban, de a vallási hitünkben is. Pascal is ezért „kötött fogadást” Istenre; így fogalmaz: „…ez már nem is fogadás: ahol a végtelen forog kockán, és nem áll szemben végtelen számú vesztési esély a nyerési eséllyel, nincs helye mérlegelésnek, mindent fel kell tennünk.” 

A valószínűségszámítás, és a végkimenetel, azaz a jövő mérlegelése után megtett döntésben a legmeghatározóbb egy saját múltbeli valóság-élmény. A hangverseny-választás példánál alapvetően meghatározó lehet, ha ismerem a művészt, hallottam már játszani. Ugyanez igaz a vallási hitben is, rendkívüli módon megerősíti egy szellemi élmény; a Jó szellemi megtapasztalása. Itt is Pascal gondolatai jutnak eszembe: „Mindent el kell követni, hogy megtalálja az igazságot a valószínűségszámítás segítségével, mert ha úgy hal meg, hogy nem imádja az igazi princípiumot, elkárhozik. – «De – válaszolja maga – ha azt akarta volna, hogy imádjam őt, akkor jeleit adta volna akaratának» – Ezért meg is tette; csak maga elsiklik felettük. Keresse őket; megéri a fáradtságot.” A jelkeresés közben azonban sokan elfelejtik, hogy a jelek szellemiek. Sokkal egyszerűbbek lehetnek, mint az emberek többsége gondolja: jel lehet egy lelkiismeret furdalás, ha rossz irányba megyek, és derű érzése, ha valami igazán jót tettem.

Hangsúlyozni szeretném, mennyire fontos, hogy értsük az érzéseinket, gondolatainkat. Az ősembernek még az volt alapvetően fontos, hogy értse az anyagi világ jeleit. Ez nekünk is nélkülözhetetlen, de az igazán lényegbevágó már a belső gondolatvilág értése, a jelzések megkülönböztetése. Azt írtam, „belső”, de a gondolatvilág nem csak belső. A külső-belső viszonylat itt már – és még – használhatatlan.

Természetesen azt is tudom, hogy ez a bonyolultnak látszó modell is egyszerűsítés, a valóság ennél sokkal komplexebb csoda. De az a legnagyobb varázslat, hogy igen egyszerű modellekkel is meg tudjuk érteni a világot, és a tudásunkban megjelenő képek konvergálnak a valósághoz.

"Gyakran tapasztaltam, ha valaki megpróbált valamit elmagyarázni nekem a matematikából, hogy bármilyen figyelmesen hallgatom, majdnem teljesen elvesztem a szavak közötti logikai kapcsolatokat. Azonban agyamban kialakult egy megsejtett kép azokról a gondolatokról, amelyekről meggyőzni próbált - teljesen a magam értelmezésében, látszólag nagyon kevés kapcsolattal ahhoz a szellemi képhez, amely kollégám saját felfogásának alapját képezte - és válaszoltam. Meglepetésemre megjegyzéseimet általában mint odaillőket fogadták, és a beszélgetés ezen a módon zajlott. A végére nyilvánvaló volt, valódi, pozitív kommunikáció folyt. Azonban a tényleges mondatokat, amelyet egyikünk vagy másikunk mondott, csak nagyon ritkán értette meg a másik." (Roger Penrose, A császár új elméje)

"Miután megalkották az analitikus geometriát és az algebrai függvények elméletét, Newton és Leib­niz kifejlesztette a differenciál-integrálszámítást, a matematika nem függő jelrendszer, nem az empí­ria eszköze többé. Elképesztően gazdag, összetett és dinamikus nyelvvé válik. És ennek a nyelvnek a története a fokozódó lefordíthatatlanságé." (George Steiner, Egyre távolabb a szótól)

"... van a matematikában bizonyos metafizikai vonzerő, amelynek semmi köze a tudáshoz, még kevésbé az egyenletekkel könnyedén megbirkózó képességhez, de amely csodálatos módon rokon azzal az erővel, ami a misztikus tapasztalat általunk ismert leírásából sugárzik." (Leszek Kolakowski, A matematikus és a misztikus)

A moderálási szabályok megváltoztak a regisztrációra vonatkozóan 2019. július 31-étől.

1.A honlap célja

A honlap tulajdonosa meg akarja osztani ötleteit, gondolatait az olvasókkal. A szövegek letölthetők, nyomtathatók, szabadon felhasználhatók azzal a feltétellel, hogy hasznosítás esetén a forrást meg kell nevezni.

2.A honlap tulajdonosa

A honlap cikkeinek és blogjának írója és tulajdonosa Mlakár Katalin.

3.A honlap felhasználói

A cikkekhez hozzászólni csak regisztrált felhasználók tudnak belépés után.

Regisztrációnál valós nevet és valós email-címet kell megadni. A megadott email-címre a honlap tulajdonosa levelet küld – kivéve spam-listán szereplő címeket –, és a választól függően erősíti meg a regisztrációt. A regisztráció során választható egy felhasználói név, ebben az esetben ez fog megjelenni a hozzászólások publikált szövege mellett. A felhasználói névnek, mint egyedi tartalomnak meg kell felelnie a moderálási szabályokban leírtaknak, továbbá nem használható a honlapon már létező, vagy ahhoz megtévesztésig hasonló név.

4.A honlap angol nyelvű oldala

A honlap angol nyelvű oldala csak a kivonatokat tartalmazza.

5.Moderálási szabályok

A honlapon megjelenő valamennyi tartalmat a tulajdonos publikálja. Így a hozzászólások egy formális engedélyezési eljárás után kerülnek nyilvános publikálásra. A hozzászólások szabályai:

- Nem tartalmazhatnak hatályos jogszabályba ütköző tartalmakat,

- Meg kell felelniük egy általánosan elfogadott etikai normának,

- Nem tartalmazhatnak olyan idegen forrásból származó tartalmat, ahol nincs feltüntetve az eredet,

- A hozzászólást író személyes adatain kívül más személy személyi adatait, a nevét is beleértve nem tartalmazhat egy hozzászólás. Kivételt képez ez alól az esetlegesen idézett idegen tartalom szerzőjének, és forrásának megnevezése, ha az adott művet már publikálta a szerzője.

- Semmiféle durva, fenyegető, mások érdekeit, jogait bármi módon sértő, vagy a jó ízlésnek nem megfelelő tartalom, illetve az ilyen témájú weboldalra mutató link nem kerül publikálásra ezen a honlapon, beleértve a személyeskedő, másokat lejárató megjegyzéseket is.

- Az adatbiztonság és adatvédelem sérelmét okozó tartalmak – vírusok, vagy egyéb számítástechnikai kártevők – illetve adatlopás esetén jogi eljárás indításával élhet a tárhely üzemetetője, vagy a honlap tulajdonosa.

- Hirdetések, illetve témaidegen hozzászólások nem jelenhetnek meg.

- Kerülni kell a valódi tartalmat magában nem foglaló hozzászólásokat is, azaz a honlap cikkeit vagy blog-bejegyzéseit pusztán helyeslő, vagy elutasító, és ezt a véleményt érvekkel alá nem támasztó hozzászólások sem kerülnek publikálásra.

A fenti szabályokat egy, illetve két alkalommal megsértő felhasználó jogosultsága 1 hónapra felfüggesztésre kerül, és a harmadik szabálysértés esetén a felhasználó regisztrációja törlésre kerül.

6.Adatbiztonság és adatvédelem

A technikai adatvédelem és adatbiztonság a tárhely szolgáltatójának felelőssége. A honlap tulajdonosának személyes felelőssége a regisztrációban szereplő nevek és email címek bizalmas kezelésére vonatkozik. A hozzászólásokban megjelenő tartalmakat archiváljuk a többi publikációval együtt, de végleges megőrzésüket nem garantáljuk.