Út a végtelenekhez?

"A matematika a tudományok királynője,
és a matematika királynője a számelmélet."
(Carl Friedrich Gauss)

Az algebra a számolás tudományaként indult, majd a műveletek általános, absztrakt területévé vált. A geometria a földmérésből fejlődött ki, és a térbeli összefüggések elméleti tudománya lett. A matematika egyre elvontabbá válásával mind nagyobb szükség volt az absztrakciók gyakorlatba való átültetésére, azaz a számítási és mérési módszerekre. Ezzel a matematika kettéágazott elméleti és alkalmazott matematikára, melyek tovább tagolódtak esetenként hatalmas tudományágakra. Nem szorul magyarázatra, hogy a számok világa miért az egyik legfontosabb kutatási területe mind az elméleti, mind az alkalmazott matematikának. A számok tudománya töretlenül a matematika legfontosabb területe, Gausst idézve a „matematika királynője”.¹ A geometriai algebra a számok egy újfajta geometriai absztrakciója. Most egy fordított utat szeretnék bejárni; az ismert számfogalmaktól elindulva szeretném megtalálni a kapcsolatot az elvont geometriai algebrával, majd ennek eszközei segítségével bővíteném a „számolható” számok – végesek és végtelenek – világát, melyek sokkal általánosabb objektumok az eddig ismert számfogalmaknál, azaz a valós, az imaginárius, a hiperkomplex és egyéb számoknál.

Jól ismertsége miatt nem térek ki a skaláris – vagy belső – és vektoriális – vagy külső – szorzatok definíciójára. A geometriai szorzat eredeztethető belőlük, de ennek a fordítottja is elképzelhető, azaz a geometriai algebra absztrakt definícióiból² eredeztetni a geometriai szorzatot, majd ebből két vektor belső és külső szorzatát, melyek összege épp a geometriai szorzat:

__________________________________

¹ Én a számolást egyfajta időbeli műveletnek tekintem, a mérést pedig térbelinek. Ilyen értelemben az algebra és a geometria találkozása – az algebrai geometriában és a geometriai algebrában – az idő és a tér absztrakcióinak összekapcsolódását jelenti. Nem véletlen tehát, hogy jelenleg a geometriai algebrának vannak a téridő leírására legalkalmasabb eszközei.

²Az axiómákra épített geometriai algebra bevezetésére lásd például az egyik könyvelőzetesemben említett művet: David Hestenes – Garret Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus:
http://books.google.hu/books/about/Clifford_Algebra_to_Geometric_Calculus.html?id=dScR5zwrheYC&redir_esc=y

A teljes szöveg PDF fájlban itt található, 2015. április 21-én javított verzió.