Egy idézettel kezdem, mert én sem tudnám jobban megfogalmazni cikk-indító gondolataimat. Az idézet a 60-as évek elejéről való, de aktualitását máig nem veszítette el.
„…az egész modern matematika lényegileg az intenzív aktuális végtelenség fogalmára (vagy eszméjére) támaszkodik. A halmazelmélet segítségével sokkal kisebb mértékben fejlődött az extenzív végtelenség eszméje. Cantor elődje, Bolzano akinek a nézetei nagy hatással voltak a halmazelmélet formálódására, igyekezett megoldást találni a végtelen mennyiség (extenzív végtelenség) problémájára. Mindamellett a halmazelmélet az intenzív végtelenség rendkívül gazdag elméleteként formálódott, míg az extenzív végtelen fogalma lényegében idegen maradt számára.”1
Cantor végtelenség fogalma az extenzív végtelenről szól, de ő nem kötötte össze e fogalmat az intenzív végtelennel. Nincs kapcsolat a végtelen nagy, és a végtelenül kicsi között, pedig van egy művelet: a reciprok-képzés, ami elvezethetne egyiktől a másikig. A megoldatlanság oka az, amit A.A. Fraenkel és J. Bar-Hillel2 „a diszkrétség és a folytonosság közötti szakadéknak” nevez.
Amint az „Aktuális és potenciális létezés” című írásomban írtam, Cantor aktuális létezőnek nyilvánította ki az extenzív értelemben végtelenül nagy számokat, amelyek minden természetes számnál nagyobbak. A korábbi végtelen fogalomtól megkülönböztetve transzfinit számoknak nevezte őket. Az a probléma ezekkel a számokkal, hogy kimélyítették a diszkrétség és folytonosság közötti szakadékot – holott a matematika infinitezimálisokról szóló, évszázadok alatt kidolgozott technikája szilárdnak tűnő hidat épített közéjük – a transzfinit bevezetése épp a fordítottját tette, a szakadék ekkor nyílt meg igazán. Cantor transzfinitjei „megközelíthetetlenek”, mivel egy potenciálisan végtelen számsor előzi meg őket, melynek minden eleme végtelen távol van a transzfinittől.
Cantor nem viszi végig az extenzív végtelenben megtett utat az intenzív végtelen felé is, azaz nem beszél olyan parányokról, amelyek kisebbek az 1/n sorozat minden eleménél, de nagyobbak 0-nál. Nem tette ezt meg, mert ezzel megszüntette volna a folytonosság kiforrott, jól használható fogalmát, hiszen ugyanolyan mély szakadék nyílt volna meg az intenzív végtelenben is, mint az extenzív végtelenben, azaz a számegyenes minden pontjában. Ez az intenzív végtelen kibővítését elkerülő magatartás csak látenssé tette a szakadékot. Hogyan kezelhető hát ez a „szakadozott” számegyenes? Erről szólnak a kételemű számok, ahol a metrika látványosan tükrözi a szakadás mibenlétét, és nemcsak tükrözi, de kezelhetővé is teszi. Mielőtt erre rátérnék, rámutatok néhány problémára a végtelenek, a számosságok és rendezettségek cantori technikájában.
Akkor, amikor a valós számok és a természetes számok számosságát hasonlítjuk össze, akkor van két dolog, amit hallgatólagosan felteszünk:
A fenti két feltételezések mindegyikével probléma van a természetes és a valós számok összehasonlításában:
Most csak a problémákat vetettem fel, a megoldás még hátra van. Annyit előzetesen még megfogalmazok, hogy a megoldásban a kételemű számok fognak segíteni, ugyanis lehet egy számhalmaz olyan, hogy 0,999… < 1,000…, és ezeknél ugyanaz mondható el, mint amit a „Kételemű számok és a végtelen” című írásomban a …999 számról állítottam: 0,999…2 = 1. Azaz eljutottam a hiperbolikus számokhoz. A részletekről később. Annyit még, hogy a 0,999…2 = 1 matematikailag elfogadhatatlannak tűnhet. Hogyan lehet egy egynél kisebb szám négyzete 1-gyel egyenlő? A magyarázat ugyanaz, mint a …9992 = 1 esetében: csak itt az aktuálisan végtelen parányok „hatása” jelenik meg az eddig már jól ismert valós számok körében. Ez annak a fizikai jelenségnek a matematikai modellje lehet, amikor a mikrovilág változásai "felnagyítódnak", és a változás makro-szinten is megjelenik.
______________________________________________
1 G.I. Naan, Végtelenség és világegyetem, „A végtelenség fogalma a matematikában és a kozmológiában”
2 A.A. Fraenkel , J. Bar-Hillel: A halmazelmélet alapjai
3 A 0,999... = 1 egyenlőséggel kapcsolatos gondolatok, viták, bizonyítások egy tűrhető leírása megtalálható a Wikipédián.