A kiválasztási axióma (AC) és a kontinuum hipotézis (CH)

Már korábban leírtam, milyen problémákat látok a Cantor-féle diagonális módszerben:

- A természetes számok halmazán elválaszthatatlan a számok rendezettsége a számosságától¹. Így nem csak a nagyobb számosságok – pl. continuum – bizonyításánál alkalmazott diagonális módszerrel, de a halmazok számosságának összehasonlításával is baj lehet, ha az a két halmazból vett elemek megfeleltetésén alapszik. Ilyenkor ugyanis sok esetben akaratlanul is az egyik halmaz rendezettségét hasonlítjuk össze a másik rendezettségével, és nem a számosságukat. Ez történik a természetes számok és a valós számok összehasonlításánál alkalmazott Cantor-féle diagonális módszernél is.

- A végtelen nagy számok mellett figyelembe kell venni a végtelen kicsinyek létezésének kérdését is. A természetes számok és a valós számok összehasonlításánál alkalmazott Cantor-féle diagonális módszerben az a ki nem mondott feltételezés szerepel, hogy ilyenek nincsenek. Pedig a CH-nak, illetve alternatív állításainak megfeleltethető egy-egy állítás az infinitezimálisok körében is, csak itt a CH alternatív állításai mellett a klasszikus folytonosság, sőt a klasszikus határérték definíciója sem alkalmazható változtatás nélkül².

Problémát látok az AC és CH kapcsolatában is. Az én emlékezetembe a kettő ekvivalensnek íródott be annak ellenére, hogy Gödel és Cohen megmutatták, hogy sem a CH tagadása, sem maga CH nem bizonyítható ZFC-ben, azaz a kiválasztási axiómával bővitett Zermelo-Fraenkel axiómarendszerben. Azért is gondoltam ezt, mert egy valós szám aktuális létét nem tudtam elképzelni a kiválasztási axióma egy speciális megfogalmazása nélkül. A valós számok „megközelítő” értelmezése csak potenciális létüket jelenti, aktuálissá egy „deklaráció” teheti az én szememben³, azaz az AC-nak egy olyan formája, amely megszámlálhatóan sok végtelen kiválaszthatóságára vonatkozik. Ezzel párhuzamosan a valós számok halmazát kiterjesztő számábrázolás; a számok végtelen nagy helyiértékeinek aktuális létét modellező kételemű számok egyben a kontinuum hipotézis más-más megfogalmazását is modellezik. Az én nézetemben az AC-vel aktualizáltam a valós számok létét, és ezek után  beszélhetek a CH különböző megfogalmazásairól.

Az extenzív és intenzív végtelenre tett állítások dualitását nagyon hasonlónak gondolom a speciális geometriák szétválasztásához, ahol az egyenesek párhuzamosságával kapcsolatos állításokból, és a háromszögek szögösszegeire tett állításból egyaránt a – görbületében mindenütt egyforma – három speciális geometriához jutok. Eszerint az egyenesek végtelenben való sajátságos viselkedése és a háromszögek lokális szögösszeg-összefüggése egymásnak megfeleltethető módon vezetnek egy adott geometriához, és ugyanígy az extenzív végtelenek eltérő definiálása megfeleltethető az intenzív végtelenek hasonlóan eltérő viselkedésének. Tehát a kételemű számok egy-egy speciális fajtájához jutunk, akár az extenzív végtelen nagy számot definiáljuk speciális módon, akár az intenzív végtelenek értelmezésére felírt különböző egyenlőtlenségek egyikét alkalmazzuk.

A jelenlegi halmazelméleti axiómarendszerben – már akik a ZFC CH-val való kiegészítését gondolják korrektnek – azt a problémát látom, hogy az így létrejött halmazelméletben az AC-t és a CH-t nem kapcsolták össze korrektül: a bevezetett AC általánosan aktualizálja a végtelen sok halmazból való elem-kiválaszthatóságot, a használt CH pedig tagadja a végtelenek speciális formáinak a létét. (Lehet, hogy ezek az ellentmondások vezethetnek pl. a Tarski-Banach paradoxonhoz, és hasonlókhoz.) Szerintem a ZFC CH-val kiegészítése csak akkor korrekt, ha a ZFC-ben az AC-t a megszámlálhatóan sok számosságú halmazokból való elemek kiválaszthatóságára mondom ki, majd kiegészítem a három különböző módon megfogalmazható CH valamelyikével. Lehet, hogy rosszul gondolom mindezt, mert még sok mindent nem gondoltam végig.

_________________________________________________________________________

¹A természetes számok egyszerre jelentenek sorszámot és egy szakasz hosszát – tehát mennyiséget – a számegyenesen, és e két jelentésük nem válik szét, hol az egyik értelmében használjuk a természetes számokat, hol a másik értelmükben. A transzfinitek világában viszont lényeges módon különböznek az ordinális- vagyis rendszámok a kardinális számoktól, azaz a mennyiségi értelmű számosságoktól. Lásd erről például az 1974-ben megjelent „Végtelenség és világegyetem” cikkgyűjtemény 103. oldalán a B. A. Lasztocskin, „Végtelenség és valószínűség” című cikkét.

² Érdekes, hogy a transzfinitben épp a CH jelenlegi feltételezése – nincsenek közbülső számosságok – adja a végtelenek nem folytonos, diszkrét mennyiségként megjelenő képét. Ugyanakkor az infinitezimálisoknál a CH-nak megfelelő állítás a kontinuum jelenleg folytonosnak gondolt képét adja, a CH alternatív állításai viszont megszüntetik a folytonosságot az infinitezimálisok körében.

³Zénon apóriái is hasonlóan közelíthetőek meg. Mind Zénon logikai problémái a mozgással, mind a kiválasztási axióma szükségessége a matematikában az aktuális végtelen létéhez; azzal függ össze, hogy a fizikai időnek megfelelő matematikai fogalom kidolgozatlan még ma is. Épp a kiválasztási axióma speciális megfogalmazása, és – szerintem – a vele igen szoros kapcsolatban álló, kontinuumra vonatkozó speciális egyenlőtlenség hozza be a matematikába az idő és a tér sajátos kapcsolatának modelljeit.