2016. január 10., vasárnap 17:19

Problémák a geometriai algebrában

Vannak olyan problémák a geometriai algebra kialakulóban lévő használatában1, amelyekre nem-igen tér ki a szakirodalom, ezekről szeretnék most néhány gondolatot felvetni. A vizsgálatomat leszűkítem azokra a geometriai algebrákra, ahol véges dimenziós Euklideszi vektortér és a valós számok teste a kiindulópont. Az Euklideszi vektortéren adottnak tekintek egy skaláris, vagy belső szorzatot, valamint a Grassmann által általánosított külső szorzatot, amit ˄‑szorzatnak is fogok nevezni. Ezek után egy úgynevezett geometriai szorzat kerül bevezetésre, mely a geometriai algebra alapművelete lesz.Ez a geometriai szorzat a két vektor belső és külső szorzatának összegével egyenlő. E szorzatot asszociatívnak deklarálják ahhoz hasonlóan, amint a Clifford algebra alapján a geometriai algebra legáltalánosabb, absztrakt, axiomatikus felépítésében teszik. A fent leírt esetben a szorzat asszociativitásának levezethetőségére láttam egy rossz példát Hestenes egyik könyvében, ahol épp a lényeg hiányzik, azaz a műveletek már definiált tulajdonságaiból az asszociativitás bizonyítása. A szerző csak a geometriai szorzat asszociativitásának elégségességét tudja bizonyítani a belső és a külső szorzat jól definiált tulajdonságaira vonatkozóan, a szükségességét viszont nem, tehát azt nem bizonyítja, hogy az alapműveletek tulajdonságaiból szükségszerűen következik a geometriai szorzat asszociativitása.

__________________________________________________________

1 Lásd például Chris Doran - Anthony Lasenby könyvét: Geometric Algebra for Physicists;
http://www.cambridge.org/nl/academic/subjects/physics/theoretical-physics-and-mathematical-physics/geometric-algebra-physicists?format=PB
vagy Stephen Gull, Anthony Lasenby, Chris Doran korábbi cikkét, „Imaginary Numbers are not Real — the Geometric Algebra of Spacetime;
http://geometry.mrao.cam.ac.uk/wp-content/uploads/2015/02/ImagNumbersArentReal.pdf , vagy másutt:

http://www.researchgate.net/publication/226188504_Imaginary_numbers_are_not_realThe_geometric_algebra_of_spacetime

  

Mai nappal töröltem az eredeti anyagot tartalmazó PDF fájlt, mert hibát találtam az egyik bizonyításban. A javítás folyamatban van, amint elkészül a teljes cikk; mellékelem. 2016. október. 5.

2015. december 17., csütörtök 16:09

A geometriai algebra alapelemei és a számok IV.

Kettes szamok_abra_huEbben a témában ott fejeztem be az előző írást, hogy jó lenne, ha a geometriai algebrában is hasonlóan kezelnénk a skalárokat, mint a kételemű számok1 síkjain a valós számokat. A kételemű számok egyike, a hiperbolikus számok síkja a valódi téridőt modellezi, amennyiben a valós tengelyt az idő-tengelynek, a képzetes tengelyt egy tér-dimenziónak tekintjük.2 Ebből a modellből következően logikus gondolat a valós számokat – azaz a skalárokat – a geometriai algebrában is „idő-szerűnek” tekinteni, és az Euklideszi vektortérre merőleges egyenesen ábrázolni. Így a valós számokra is vektorként tekinthetek, mégpedig olyan vektorként, mely merőleges az Euklideszi terem valamennyi térvektorára, bármit jelentsen is egyelőre ez a merőlegesség. Ha a merőlegességet a skalárszorzat eltűnésével definiáljuk, akkor az időtengely és az Euklideszi tér merőlegessége miatt a valósok és egy térvektor geometriai szorzata egy bivektor.

A skalárszorzat definíciója mindhárom – komplex, parabolikus és hiperbolikus – számsíkon azonosan fogalmazható meg, mégpedig egy számvektor konjugáltjának felhasználásával:3

__________________________________________

1 A kételemű számokról egy rövid összefoglaló a Mellékletben található.

2 Erről bővebben „Az idő, a tér és a végtelen” című cikkeben olvasható.

3 A részleteket lásd „A szimplektikus teve természetes előfordulásai” című cikkben.

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található.

2015. december 06., vasárnap 19:38

Az i az ÉS-ben

es

Tartalom:

1. Láng Zsolt, Mircea Cărtărescu i-je

2. Lázár Balázs, Közben – A 80 éves Bertók Lászlónak

 

Könyvajánló

Cim 6_old_k

„Nem az a legfontosabb dolog, hogy vajon az olvasók Einstein fizikája, vagy Bergson filozófiája pártján állnak: ez a könyv olyan új gondolkodásmódot tár fel a tudomány és a humán területek közötti kapcsolatról, mely kizökkenti mindkettőt.”
/Gerald Holton, Harvard Egyetem/

Az idő-fogalom és a geometriai algebra

„Csak Grassmann külső szorzatának tükrében válik érthetővé, hogy milyen tényleges geometriai fontossága van a görögök körültekintő megkülönböztetésének a szám és a terjedelem között. Ez körülbelül megfelel a skalár és a vektor közötti különbségnek. Tulajdonképpen a görög terjedelmet úgy adták össze, mint skalárt, de úgy szorozták, mint vektort, így a terjedelmek szorzása a görögöknél magával hozza az irány és a dimenzió fogalmát, és Euklidesznek tökéletesen igaza volt, amikor ezeket megkülönböztette a görög számok (mostani skalárjaink) szorzásától.”
/David Hestenes, A klasszikus mechanika új alapjai/1

1. Emlékeztető2 a kételemű számokon definiált speciális szorzatokról

A kételemű számokon definiált skaláris, ferde skaláris, valamint geometriai szorzattal kapcsolatos egyenlőségek nem minden esetben egyeznek meg az axiomatikus geometriai algebrából ismertekkel. Ezek az eltérések nagyon tanulságosak, érdemes részletesen végignézni őket.

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található.

__________________________

1„Only in the light of Grassmann’s outer product is it possible to understand that the careful Greek distinction between number and magnitude has real geometrical significance. It corresponds roughly to the distinction between scalar and vector. Actually the Greek magnitudes added like scalars but multiplied like vectors, so multiplication of Greek magnitudes involves the notions of direction and dimension, and Euclid was quite right in distinguishing it from multiplication of “Greek numbers” (our scalars).” /David Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics/

2 Lásd a „A szimplektikus teve természetes előfordulásai” és „A geometriai algebra alapelemei és a számok I.” című cikkeket.

 

c doran_a_lasenby

Könyv előzetes

Az előző cikkemben említett Hestenes könyv mellett beszereztem a Doran-Lasenby szerzőpáros könyvét is a geometriai algebra – rövidítve GA – fizikai alkalmazásairól. Sokan és sokat dicsérték ezt a könyvet, mint a GA-t érthetően bemutatót és a GA sok fizikai alkalmazását tárgyaló gyűjteményt. Én ez utóbbira vagyok kíváncsi, mert Hestenes említett könyve csak egy szűk körét említi a fizikai alkalmazásoknak.

Még nem tudok véleményt formálni a könyvről, mert ezt is most kezdtem el olvasni Hestenes könyvével együtt. A könyv témáit illusztrálandó mellékeltem a könyv tartalomjegyzékét.

hestenes

Könyv előzetes

David Hestenes egyik könyvéről tettem már korábban említést1; „Clifford Algebra to Geometric Calculus – A Unified Language for Mathematics and Physics”, melynek társszerzője Garret Sobczyk. A régebben említett, és a címben most idézett könyv is a geometriai algebra – vagy, ahogy rövidítve emlegetik; GA – alapjainak bemutatásával kezdődik, de míg amaz a GA matematikai kifejtése, addig a címbeli a matematikai alapok bemutatása után az alkalmazásokra koncentrál a fizika néhány jelentős területén. A könyvről részletesebben nem tudok még szólni, mivel csak most szereztem be, és kezdtem el olvasni. A véleményem helyett álljon itt egy rövid részlet, a sok hozzászólásból, melyet az amazon.com-on olvastam:

2015. augusztus 22., szombat 18:26

A grossone elméletről

Yaroslav D. Sergeyev és a végtelen1

A grossone elméletben azt tartom nagyon vonzónak, hogy megpróbál elszakadni Cantor kezdetben nagyon gyümölcsöző, de ma már – véleményem szerint – a fejlődést akadályozó végtelen-elképzelésével. A Cantor-féle végtelen-fogalommal kapcsolatos problémáimat legjobban a diagonális módszerének kritikájával tudtam megfogalmazni.2 A grossone elmélet atyja Sergeyev abban látja a Cantori végtelen-modell elégtelenségét, hogy a modell szerint egy halmaz és részhalmazának számossága azonos lehet, azaz a rész egyenlő lehet az egésszel. Ez ellentmond ösztönös szemléletünknek, hiszen körülöttünk a világot olyannak ismertük meg, mely szerint a rész kisebb, mint az egész. Erre az intuitív meglátásra alapozva a grossone modell posztulálja, hogy a rész kisebb az egésznél végtelenek esetén is. Így Sergeyev Cantor-kritikája nem matematikai alapokon nyugszik, hanem az úgynevezett józanész diktálta szemlélet elfogadásán, sőt megkövetelésén. Én ezzel nem igazán tudok azonosulni, kizárólag azzal értek egyet, hogy a Cantor-féle végtelen-fogalom és módszertan mellett lehetnek más, a valóság leírására alkalmasabb megoldások is. Visszatérve Sergeyev grossone elméletére; közös még ebben az elméletben és a saját elképzeléseimben az, hogy a valós számok helyiértékes ábrázolását alkalmazzuk a végtelenek megjelenítésére is. Sajnos ezzel a hasonlóság el is tűnik. Valamikor reméltem, hogy Sergeyev professzor elméletének segítségével tovább tudom vinni azt az elgondolást, melynek első lépésében a kételemű számokkal modellezhető a végtelen-fogalom egy speciális fajtája. Ennek azonban komoly akadályai vannak.

__________________________________

1 Lásd például a következő cikkeket; http://arxiv.org/pdf/1203.4141v1.pdf , http://arxiv.org/pdf/1203.3132v1.pdf , vagy könyvben: http://www.amazon.co.uk/Arithmetic-infinity-Yaroslav-D-Sergeyev/dp/8889064013

2 Lásd például a következő kis cikket: "Problémák Cantor diagonális módszerének használatában"

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található.

2015. július 13., hétfő 16:39

Az idő újjászületéséről harmadszor

Befejezve a röpke gondolatokat Lee Smolin könyvével kapcsolatban

1. Smolin és az információ

Smolin kritikával él azokkal szemben, akik szerint „a kvantummechanika nem «magáról» a fizikai világról szól, hanem a fizikai világra vonatkozó információinkról”1. Nem értek egyet az íróval. Én még messzebbre is megyek a véleményemmel, mert szerintem nem csak a kvantummechanika, de valamennyi tudásunk csak közvetetten szól a valóságról, közvetlenül a valóságnak bennünk kialakult képét érinti. Nem tudom, mi a probléma ezzel a gondolattal? Tudást úgy szerzünk, hogy egyrészt odafigyelünk arra, amint a világ kinyilvánítja önmagát, azaz kérés nélkül folyamatosan információt szór szét önmagáról. Ezeknek az információknak egy másolata jön létre bennünk. Másrészt kérdezzük, mérjük, teszteljük a világunkat és ezek a kikényszerített információk szintén beépülnek a világról alkotott képünkbe. Mondhatnám, hogy ez a világkép semmi mást nem tartalmaz, mint amennyit a világ „közöl” velünk. Mondhatnám, de nem mondom, mert nem igaz. Épp az a szép, és izgalmas, hogy egy kép a világról – nevezzük modellnek – tovább vizsgálható, és belőle újabb információ szerezhető. Valamennyi elméletünk axiómaszerűen tartalmazza a valóság önmagáról „közölt” információt, és tételszerűen azokat a következtetéseket, melyeket ezekből az információkból tovább gondolunk. Ez utóbbiak tehát nem közvetlen információk, hanem közvetettek. Az elméleteink – így a kvantummechanika is – a fizikai világból eredő információinkról szól. Épp azért kell újabb méréseket végezni, ellenőrizni a következtetéseinket, mert azok közvetettek.2

Nagyon hiányzik az információnak egy valóban jó elmélete. Smolin – szerintem hibásan – valamiféle algoritmusként képzeli el azt az információnkról szóló kvantummechanikát, amit kifogásol. Komolyan kellene már vennünk, hogy az információ nem csak holmi virtuális bitek tömege a számítógépben, vagy bennünk, hanem fizikai létező ahhoz hasonlóan, ahogy az anyagot és az energiát fizikai létezőnek tartjuk. Ki kellene már végre dolgozni az információ „fizikai” elméletét.

_______________________________

1 Lee Smolin, Az idő újjászületése, Akkord Kiadó, 2014., 193. oldal.

2 Nem csak a tudományos elméletek, de a hétköznapi tudásszerzés is hasonlóan működik. Számítógépes hasonlattal élve a beérkező információk bitmap-jét vektoros képpé alakítjuk.

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található, mely 2015. július 15-én javított változat. A módosítás egy új lábjegyzetet jelent..

2015. május 18., hétfő 17:35

Az idő újjászületéséről ismét

smolin

További röpke gondolatok Lee Smolin könyvét olvasva

1. Az univerzum és az idő

„Néhány kollégám azt javasolja, hogy az idő legyen része az univerzum közelítő leírásának – egy olyan leírásnak, amely hasznos nagy léptékek esetén, de eltűnik, ha túl közelről nézzük. A hő hasonló ehhez: a makroszkopikus testeknek van hője, de az egyedi részecskéknek nincs, mivel egy test hője az alkotó atomok átlagos energiája.”1 Ez a gondolat érdekes, de vitatkozom vele. Mire is gondolhatunk itt? Az univerzum leírására alkalmas idő nem megfordítható, határozott iránnyal rendelkezik, ezzel szemben a kicsiny léptékben megfigyelt rendszerek leírásánál használt idő megfordítható. A hőtani hasonlat annyiban jogos, hogy a makroszkopikus testek hőtanában – az entrópia fogalmával leírt –változásoknak határozott irányuk van, míg az alkotó atomok változásának – mozgásának – ideje megfordítható. Ebben az értelemben elfogadhatónak látszik a fenti gondolat, de engem zavar az időnek ez a léptéktől való függősége. Szerintem a lépték-viszony látszólagos, mögötte a bonyolultságtól való függőség húzódik meg. Minél bonyolultabb egy rendszer, annál inkább szükséges a leírásában az idő-paraméter. És az univerzum komplexitása nem kérdéses.

1. A külső megfigyelőről

Mind a mikrokozmosz, mind a makrokozmosz vizsgálatakor kellemetlenséget okoz a fizikának, hogy a megfigyelő a megfigyelés aktusa közben befolyásolhatja az eredményeket. Ezt a problémát általában úgy oldják meg, hogy igyekeznek a megfigyelő hatásának csökkentésére, majd nem létezőként kezelik. Helyesebb lenne szerintem a megfigyelő hatását mindig számba venni, hiszen nem is lenne megfigyelhető az a rendszer, melynek nem része valami módon a megfigyelője. A megfigyelő hatásának mindenkori figyelembe vételével elkerülhetnénk azt a hibát, hogy túl korán nyilvánítjuk elhanyagolhatónak a hatást. Még egy hasznos következménye lenne ennek; nem hinnénk a „külső megfigyelőben”, ami fából vaskarika, nem létezik. Gondoljunk bele; egyrészt ha lenne abszolút zárt rendszer, arról csak belülről lehetne információt szerezni, másrészt egy nyílt rendszer az energetikai és információs kapcsolataival közös rendszert alkot a környezetével, így a megfigyelővel is, és e közös rendszeren belül zajlik a megfigyelés aktusa.

(Folytatása következik)

_____________________________________

 Lee Smolin, Az idő újjászületése, Akkord Kiadó, 2014., 116. oldal.