2014. december 07., vasárnap 14:26

Képek és matematika és egyebek

Erről-arról röviden

005 m

1. Néhány kép egy téli estén – Budapest, Clark Ádám tér

Készítettem néhány esti képet Budán. Sokat tanultam, de nem eleget az éjszakai fényképezésről. (A képeket lásd a cikk végén.)

2. Matematika és szépség – egy szemet gyönyörködtető könyv mindenkinek

math 003 k41

Eli Major és Eugen Jost csodálatosan illusztrált könyve – Beautiful Geometry – ebben az évben jelent meg: izgalmas történetek a matematika legérdekesebb területeiről szép képekkel díszítve. Ezt a könyvet mindenkinek ajánlom, főleg egy fordítónak és kiadónak, hogy magyarul is elérhető legyen.

3. Lét/nemlét

A lét/nemlét kérdése nem bizonyítást igényel, hanem tapasztalást. (Így Isten léte is.) Mint a geometriában az axiómákban megfogalmazott fogalmak, ahol a többi állítás már levezetés, bizonyítás ezekből a tapasztalatból eredeztetett alapfogalmakból. (A tételek és bizonyítások legtöbbje úgy kezdődik, hogy „legyen”. Mint az isteni teremtés!)

4. Egy vers – nekem

Ezen a héten Robert Frost egyik verse szólított meg, főleg az utolsó sorai:

“… I have promises to keep,
And miles to go before I sleep,
And miles to go before I sleep.”
(Robert Frost, Stopping by Woods on a Snowy Evening)

_____________________________________________

Képek egy téli estén

2014. november 01., szombat 17:05

A matematika filozófiái

Gondolatok Alexander George és Daniel J. Velleman könyvét olvasva1

math ph 005_mm

Nem recenziónak szánom ezt az írásomat, sokkal inkább azokból a gondolatokból említek meg néhányat, melyek a könyv olvasása közben vetődtek fel bennem.

Könyvismertetést és kritikát azért sem írhatnék, mert a könyvet még jelenleg is olvasom. Annyit azért érdemes megjegyezni, hogy a könyv nem filozófiatörténet, még csak filozófiakönyvnek sem nevezném, annyi matematikát és logikai feladatokat tartalmaz. Ezzel együtt jó áttekintést nyújt a XX. század legnagyobb filozófiai irányzatairól, melyek alapvetően valamely matematikai problémából származnak. A könyv bemutatja a filozófiai gondolatoknak ezeket a matematikai gyökereit, és a következő irányzatokat járja körbe: logicizmus, halmazelmélet, intuicionizmus, finitizmus és a nemteljességi tétel.

Most pedig a teljesség igénye nélkül következzék néhány gondolat.

2014. október 29., szerda 09:45

Internetadó és az univerzum belső szerkezete

Gondolatok a bevezetésre szánt internetadó elleni tüntetések1 kapcsán

Figyelemfelkeltőnek szántam a címet, de semmiképpen sem viccesek azok a gondolatok, amelyek szülték. Keveset foglalkoztam politikával a honlapomon, akkor is csak általánosságban. Most is ezt fogom tenni, igaz egy konkrét esemény apropóján.

Elgondolkodtatott az, hogy miért épp az internetadó bevezetése vitte utcára az embereket. A híreket, blogokat olvasva látom, sokakban felmerült ez a kérdés. A legtöbben azt a választ tartották elfogadhatónak, hogy az „utolsó csepp” effektus okozta a történteket. Ennek érvényességét csak a jövő igazolhatja, mert az utolsó csepp után már semmi nem fér bele a pohárba, tehát egy ilyen hatás azt jelenti, hogy minden következő esemény hasonló az „utolsó csepp” által kiváltotthoz. Így az internetadó okozta felbolydulásról – most az események kellős közepén – még nem dönthető el, hogy alkalmazható-e rá magyarázatul az „utolsó csepp” effektus.

Tekintettel arra, hogy érdeklődésem egyik központi eleme az információ, ezért felmerült bennem a gondolat, hogy az internetadó elleni tiltakozásban valami módon az információterjedés törvényszerűségei nyilatkoztak meg látványosan. Az internetadó nyilvánvaló folyománya az információhoz jutás és a vélemény-közlés nehezebbé válása, akár ellehetetlenülése, ezzel pedig általánosságban az információ terjedésének akadályozottsága a következmény. Ennélfogva itt nem csak emberi, társadalmi okok váltották ki a felzúdulást a netadó ellen, de sokkal mélyebb, alapvető természeti törvények, az információ alaptermészete, terjedési tulajdonságai határozták meg lényegbevágóan a történteket. Mire gondolok? Az információnak arra a tulajdonságára, hogy az információ terjed és terjedni „akar”2. Ez viccesen hangzik, de érthetővé válik a furcsa fogalmazás, ha ráébredünk arra, hogy az információ nem csak társadalmi – például tudásra vonatkozó – fogalom, hanem „fizikai” létező. A természetben lejátszódó minden folyamatban nem csak energiaváltozások, de információváltozások is végbemennek. Az információváltozás legfontosabb tulajdonsága pedig az, hogy nincs rá vonatkozóan megmaradási törvény: az információ nem átadódik, hanem másolódik, azaz nem tűnik el a forrás helyéről sem, miközben másolata az információ vevőjéhez kerül. Az információ tehát megállíthatatlanul terjed, ezt értettem a fenti furcsa megfogalmazáson, az információ terjedni „akarásán”. Általános törvényszerűségénél fogva ez a tendencia az egész univerzumunkra igaz. Aki akadályozni kívánja az információ terjedését, az nem csak egy társadalmi jogot sért meg, de egy természeti törvény ellen cselekszik. Így az internetadóval nem csak az információhoz való hozzáférési jog, a vélemény-közlési jog és ezeken belül az egyenlő esélyek joga sérül, de ez az adó egy univerzális, az egész világmindenségünket átható törvény ellenében próbál menni. Ahogy mondani szokták; ez több mint bűn, ez hiba.

_________________________________

1Lásd a szerveződés Facebook-oldalát:

https://www.facebook.com/Ne.legyen.Internetado

és a második tüntetés videóját:

https://www.youtube.com/watch?v=OoyCRlqiHHg

2 Sok írásomban foglalkoztam az információval, legfontosabb tulajdonságaival, melyek közül kiemelhetem a változásokról szólót.

A Lorentz transzformáció leírása skalárszorzattal és ferde skaláris szorzattal

1. Előzmények

Korábbi kis cikkemben1 írtam arról, hogy mindhárom számsíkon azonos módon definiálható egy szimplektikus forma az

ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = x1y2 – x2y1                                     (1)

leképezéssel, és ennek a leképezésnek a számok koordinátáira átírt formája is azonos a három számsíkon. Ez akkor egyenlő 0-val, ha x1y2=x2y1 azaz y1/x1=y2/x2, tehát ha a két számvektor egy egyenesre illeszkedik. Másképpen megfogalmazva ez a ferde skaláris szorzat akkor 0, ha az egyik vektor a másik vektor számszorosa. (Ennek speciális esete, ha a két számvektor megegyezik.)

A három számsíkon a skaláris szorzat definíciója azonos módon indul:

<z1,z2> = Re(z̄1z2)                                                           (2)

de a különböző számsíkokon a képzetes egységelem különbözősége miatt a (2) egyenletet kibontva a skalárszorzatnak mind algebrai, mind a geometriai formája eltér:

Hiperbolikus esetben

<z1,z2> = Re(z̄1z2) = |z̄1| |z2| cosh (τ21) = x1x2 – y1y2    (3)

Ez akkor 0, ha ha x1x2=y1y2 azaz y1/x1=/x2/y2 tehát a két számvektor meredeksége egymás reciproka, a két számvektor olyan egyenesekre illeszkedik, melyek egymás tükörképei az y=x egyenesre. Ennek speciális esete, ha az egyik számvektor a másik ±k-szorosa, például k-szoros esetben:

<z,zk> = Re(z̄zk) = Im(z̄z) = xy – xy ahol k2=1                  (4)

Ez pedig valóban 0.

___________________________

1 Lásd: a «A szimplektikus teve „természetes előfordulásai”» című cikket.

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található.

Skalárszorzat és ferde-skaláris szorzat1 a kételemű számsíkokon

Azért tartom „természetesnek” a szimplektikus forma2 speciális meghatározását a kételemű számok síkján, mert ezeken a számsíkokon a számok szorzata szinte sugallja a skaláris és a ferde-skaláris szorzat definícióját.

_____________________________________________

1 Egy nem-elfajuló antiszimmetrikus bilineáris 2-formát értünk ferde-skaláris szorzat alatt.

2 Szimplektikus formának nevezünk egy antiszimmetrikus bilineáris formát.

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található, mely utoljára 2017. július 25-én javított verzió.

2014. július 21., hétfő 21:18

Hiperbolikus kalkulus I.

Miért hiba az, ha euklideszi környezettel számolunk a hiperbolikus számsíkon?

A szakirodalomban sok esetben euklideszi környezettel és mértékkel vezetik be a deriválást a hiperbolikus számsíkon. Egy, a hiperbolikus kalkulusról szóló cikk1 alapján tudom bemutatni az ezzel kapcsolatos problémákat.

A cikk 4. oldalán fogalmazza meg a szerző a hiperbolikus függvényeken bevezethető differenciálás alapötletét. A komplex számoknál holomorf függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, melyeknek létezik komplex deriváltjuk. A holomorf függvények lokálisan lineárisnak tekinthetők, azaz lineáris függvénnyel közelíthetők egy pont kis környezetében. A szerző ennek analógiájára a hiperbolikus síkon is értelmez holomorf függvényeket, melyek lineárisan közelíthetőek a hiperbolikus szorzás értelmében, majd néhány bekezdéssel később a következőt írja:

“Now we turn to the hyperbolic numbers, P= M2. We employ in M2 the topological structure of R2, this could be seen as contradictory and is criticized (see [9]2). But it is the convention adopted in all the literature (see [10,11] for example) and we assume here this simplified point of view (leaving the suggestion made in [9] for a posterior work). This means that, despite of the Lorentzian structure of M2 we will be using the concept of neighborhood and making limits as if we were in R2.”3

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található, 2014. július 24-én javított verzió.

2014. július 20., vasárnap 18:50

Ami az állatkerti képekből kimaradt

Ezek a képek kimaradtak a főoldalról

socrates lk(Recenzió)

Felemás érzések fogtak el Paul Johnson Szókratészről szóló könyvét olvasva.

Egyrészt nagyon örülök, hogy az egyik legkedvesebb filozófusomról olvashattam, és a könyv alcímével teljes mértékben egyet értek, Szókratész időszerű ember manapság is. Hozzá teszem, az ő időszerűsége soha nem szűnt meg. Kezdve kortársaira, elsősorban Platónra kifejtett óriási hatásával, minden korban a példaképek között szerepelt. Nem csak a filozófusok, de minden értelmes ember számára mintát adott az erkölcsös, tiszta életre, a következetes, szabad gondolkodásra.

Paul Johnson Szókratész iránt érzett elfogultsága elfogadható lenne számomra, ha nem ragadtatta volna magát csalhatatlan kijelentésekre a filozófussal, és korával kapcsolatban. „Szókratészt egyáltalán nem érdekelte…”1, „Nem kétséges, hogy első kérdései…”2, „Szókratész úgy gondolta...”3 az ilyen, és ehhez hasonló megfogalmazások megkérdőjelezhetőek, tudva, hogy Szókratész soha nem írt le semmit, filozófiájáról, életéről csak közvetítőkön keresztül tudunk bármit is. Épp ez a tény, azaz a nagy filozófusnak az írott szótól való tartózkodása jelzi, hogy a dogmává válásnak még a lehetőségét is igyekezett elkerülni. Paul Johnson önmagával is ellentmondásba kerül, amikor túl kritikus Platónnal kapcsolatban, azt felróva, hogy későbbi műveiben átértelmezte Szókratész filozófiáját, és saját szavait adta a szájába. Nos, éppen ezt teszi maga Paul Johnson is. Mentségére szolgáljon neki, és Platónnak, hogy írásaikkal – bár eltorzítva – megismertetnek bennünket egy olyan emberrel, akiről egyszerűen jó tudni.

2014. június 29., vasárnap 20:11

A dimenziókról

A téridő 3+1 dimenziója és a kételemű számok

A hiperbolikus számsík, mint téridő modell nagyon szemléletes, ha a térnek csak az egyik dimenzióját használjuk. Az embernek azonban hiányérzete támad, hiszen a teret mi háromdimenziósnak érzékeljük. Felmerül tehát az igény olyan – esetlegesen többelemű – számokra, amelyek korrektül modellezik a négydimenziós téridőt. Egyelőre elég távolinak látom a számfogalmunk olyan általánosítását1, melynek részei – feltehetően alapelemei – a kételemű számok. E számfogalom kialakítása céljából most a dimenziókkal kapcsolatos fogalmainkat szeretném végig gondolni.

1. Mi a dimenzió?

A szó eredeti jelentése alapján valamiféle méretet, kiterjedést értünk alatta. Van valamilyen ősi és elemi tapasztalatunk a tér háromirányú kiterjedéséről: előre-hátra, balra-jobbra és föl-le, ahogy a hétköznapi életben megkülönböztetjük a térbeli mozgás lehetőségeit. E lehetőségek közvetlen – tapintás2 útján szerzett – információin túl a mozgás környezeti feltételeit fény által közvetített módon, azaz látással is érzékeljük. A látásunkban már sokkal bonyolultabb információfeldolgozás eredményeként jelenik meg a környezet modellje. Az evolúció során az élelemszerzés és a menekülés eredményességét alapvetően meghatározta a környező térből érkező információk minél pontosabb feldolgozása és értelmezése.

_________________________________

1 Elképzelésem szerint ehhez az általánosításhoz a geometrián keresztül vezet az út, de ez alatt nem pontosan azt az elgondolást értem, amit ma a számok geometriai koncepciójának neveznek.

2 Tapintás útján a saját testünket is három irányban kiterjedtnek érzékeljük.

A teljes szöveg PDF fájlban itt található.

Röpke gondolatok

1. A múlt tanulságai

A múltból inkább azt kell megtanulni, hogy mit ne csináljunk, és nem azt, hogy mit tegyünk. Egy Kínáról szóló előadássorozaton jutott ez az eszembe, ahol sokat meséltek arról, hogy az ősi Kínában nagyon erős volt az ősök, és velük a hagyományok tisztelete. Ez végül a fejlődés ellen hatott, mert korlátozta, sőt megakadályozta az új elemek, módszerek érvényesülését. A múltban nem az az igazán lényeges, hogy mi működött jól, hanem az, hogy mi volt veszélyes. A változó környezet új cselekvést követelhet, ezért a múltban működő dolgok ma már nem biztos, hogy működőképesek, de a múltbeli veszélyek ma is azok lehetnek. Karl Popper érvelése általánosan is érvényes a verifikálással szemben a falszifikálás javára: a régóta működő dolgokat az idő nem verifikálta, csak még nem falszifikálta.

2. Bonyolultság és szépség

Nem tudom a pontos idézetet, és hogy ki mondta/írta, de a lényege megmaradt bennem és valahogy így hangzik: A bonyolult a szépségével teszi először vonzóvá, végül érthetővé önmagát.

Nemrég pedig ezt olvastam:

„Beauty is more important in computing than anywhere else in technology because software is so complicated. Beauty is the ultimate defense against complexity.”1

__________________________


1 David Gelernter, Machine Beauty: Elegance and the Heart of Technology