Konjugált fogalmak a GA₃-ban

Tartalom

1. Emlékeztető
2. Involúciók; reverzió és konjugálás a GA₃-ban
   1. Reverzió a GA₃-ban
   2. Magnitúdó vagy modulus
   3. Konjugált a GA₃-ban
3. Észrevételek

Melléklet
   Pauli algebra

Irodalom

1. David Hestenes, „Space–Time Algebra”
2. David Hestenes, „New Foundations for Classical Mechanics”
3. Chris Doran & Anthony Lasenby, „Geometric Algebra for Physicist”
4. Stephen Gull, Anthony Lasenby, Chris Doran, „Imaginary Numbers are not Real — the Geometric Algebra of Spacetime” http://geometry.mrao.cam.ac.uk/wp-content/uploads/2015/02/ImagNumbersArentReal.pdf

A teljes anyag PDF-ben innen tölthető le; 2017. május 9-én a 2.3 pont (12) és (14) egyenlete közötti szöveg javítva és kiegészítve.

Szubjektív és befejezetlen gondolatok a GA dimenzióiról

A hétköznapi életben általában térbeli kiterjedés értelemben használjuk a dimenzió kifejezést, de átvitt értelemben sok más esetben is, például az „új dimenzió”, „ebben a dimenzióban”, „más dimenziók”, „extra dimenziók” és egyéb szófordulatokban. Még ennél is gazdagabb a matematika és a fizika szakterületén használt dimenzió szó jelentésbeli tartalma. Ahányféleképpen definiált egy tér vagy topológia, annyiféle a dimenzió-értelmezés. A fogalom matematikai megközelítéséről írtam már egy keveset „A dimenziókról”¹ című cikkemben.

1. Dimenzió és grade a GA-ban

____________________________

¹Lásd itt.

A teljes anyag PDF-ben itt található.

Fazekas Károly ÉS-beli cikke apropóján

Ismét egy ÉS-beli cikk^[1] késztetett arra, hogy a címben jelzett témáról írjak, bár az adott írás csak a nehéz időkről és az egyének ehhez való viszonyáról szól.

Az egyén és a társadalom kölcsönhatását vizsgálva előnynek tartom, hogy a társadalomnak, ennek a komplex rendszernek a részei vagyunk, változásait éljük – élvezzük és/vagy elszenvedjük –, ezért tanulmányozásuk könnyebb lehet, még ha szubjektívebb is.

1. Az egyén szerepéről

Tinédzser korom óta zavar az egyén szerepének rendszeres túlértékelése, illetve sokkal gyakrabban leértékelése a történelmi események tárgyalásában. Első hangzásra igaznak tűnnek Petőfi sorai: „Habár fölül a gálya, s alul a víznek árja, azért a víz az úr!” Ha azonban nem metaforaként értelmezzük a képet, azaz a népek tengerén hatalmaskodók képe helyett az eredeti kapcsolatát nézzük a hajónak és a tengerárnak, akkor épp a természet erőin győzedelmeskedő ember jut róla eszünkbe. Mindkét kép mondandója igaz egy adott szempontból, a kérdés csak az, hogy egy történelmi szituációban melyik kép közlése, „jóslata” valósul meg. Érdemes elsőként meggondolni azt, hogy a dominálót mely tulajdonsága vezeti sikerre. A víznek árja hatalmas tömegével, elsodró lendületével diadalmaskodik, míg egy hajóskapitány a tudásával, tapasztalatával kerekedik felül, és uralja a természetet. Ezzel meg is van a kulcs a kétféle megközelítéshez. Az emberi civilizáció nagy hatást gyakorló embereinek tetteiben sokkal inkább az ész és a zsenialitás elsőségét látom, mintsem a véletlenek játékát, az úgynevezett „jókor voltak jó helyen” kihasználását.

Honor 8

Hiába tiltakozom ellene, néhány ismerősöm kütyümániásnak tart. Igaz, kedvelem az új, ötletes technológiai megoldásokat, például szívesen használnék:

• 3D nyomtatót; ezeregy ötletem van, mi mindenre lenne jó,
• 3D tollat, művészi hajlamaim kiélésére,
• drónt, hogy légi felvételeket is készíthessek.

De nem szereztem be a fentiekből egyet sem, így nem lehetek kütyümániás. Már azért sem, mert 3 éve használom ugyanazt az okostelefont.

Az elmúlt hetekben viszont tényleg vásároltam két kis techno-jószágot; lecseréltem a 3 évig használt windowsos okostelefonomat – Nokia Lumia 820 – egy androidosra; Huawei Honor 8-ra. A windowsos telefont a biztonsági megoldásai miatt preferáltam. Vicces ilyet mondani egy Microsoft rendszerről, de a telefóniában – a PC-s tapasztalatok miatt – az ő rendszerük volt a legbiztonságosabb. Természetesen lehet védelmi rendszerrel megerősíteni egy telefon biztonságát. Ahhoz viszont erős – és így nyilván drága – hardver kell, hogy az internethasználat sebességét ne csökkentse észrevehetően a biztonsági rendszer. Most értek el a fejlesztések, és az árak egy olyan szintre, amikor már jó készüléket lehet vásárolni nem túl magas áron, és a kütyü észrevétlenül elvisz egy jó biztonsági rendszert is. A tesztelési anyagok alapján nagyon megtetszett a Honor 8. A Mobilarenát idézve:

"A lehengerlően szép Honor 8 pont azt kínálja, amit a Huawei P9, csak olcsóbban, ez pedig remek hardvert, dupla hátlapi kamerát és rogyásig telepakolt szoftvert jelent."

A teljes szöveg PDF-ben itt található.

Izgalmas végkifejlettel

1. Bevezető gondolatok

Emlékeztetőül megismétlem, hogy a geometriai algebra (GA) egy vektortér Clifford algebrája (CA) a valós számtest fölött. Nemcsak a CA és GA fogalmai körül van zavar, ahogy a korábbi cikkemben¹ megfogalmaztam, de az algebra alapfogalmai, a csoport, a gyűrű, a test és a ferdetest kifejezések használata sem egységes. E fogalmak tömör megfogalmazásai a következők:

• Csoport: egyetlen kétváltozós asszociatív művelet egységelemmel és inverzzel,
• Gyűrű: kettő darab kétváltozós alapművelet; egy kommutatív művelet, amellyel a gyűrű elemei additív csoportot alkotnak, és egy asszociatív szorzási művelet, amely disztributív az összeadásra.
• Ferdetest: olyan gyűrű, amelynek a szorzásra nézve van egységeleme és inverze, azaz a 0-tól különböző elemek a szorzásra nézve csoportot alkotnak.
• Test: olyan ferdetest, amelynek multiplikatív csoportja kommutatív.

A csoport kapcsán beszélhetünk kommutatív, vagy Abel-féle csoportról, ha a csoportművelet kommutatív. Egységelemes gyűrű az, ahol a multiplikatív műveletre létezik egységelem. Ebben a tekintetben nem egységesek a definíciók, mivel a gyűrű fogalma alatt sokan magát az egységelemes gyűrűt értik. Az angol nyelvű szakirodalomban a field kifejezés a fenti definíciók közül általában a testnek felel meg az algebrában. A ferdetestre az angol irodalom a division ring kifejezést használja, de előfordul erre a skew field megnevezés is, amely inkább ott fordul elő, ahol a művelet antiszimmetriáját, azaz a kommutativitás hiányát hangsúlyozzák. Sajnos a field kifejezést következetlenül a kommutatív és a nem kommutatív esetre is használják, azaz testre és ferdetestre egyaránt.

___________________________________

¹ Lásd „A Clifford algebra, a geometriai algebra és a kételemű számok” című írást.

A teljes anyag PDF fájlban itt található.

1. Az információ

Az információról szóló előző írásomban elsősorban a hamis információval foglalkoztam. Most is erről lesz szó, de egy kicsit más szemszögből. A címben szembeállítottam az információt és a kommunikációt. Régi vesszőparipám ugyanis, hogy a ma információelméletnek tartott tudományág alapjául szolgáló shannoni elmélet nem információelmélet, hanem az, aminek a szerzők maguk is nevezték, azaz „A kommunikáció matematikai elmélete”. Ezzel nem azt akarom állítani, hogy ez az elmélet nem az információról szól, hanem hogy azt csak egyoldalúan teszi. Az információ kommunikálása nem azonos az információval, bár fontos, sőt lényegi megnyilvánulása.

Az információt éppoly fizikai létezőnek tartom, mint az energiát. Az energia is absztrakt fogalom volt a létrejöttekor, és csak később, elsősorban a tömeg-energia ekvivalencia felfedezése után vált elfogadottá, hogy az energia fizikai létező. Az információra vonatkozóan is sokan szorgalmazzák már, hogy kezeljük fizikai létezőként. Ehhez azonban hiányzik egy olyan jól működő, a tapasztalatoknak megfelelő elmélet, mely az információ sokszínű, jelenleg még különálló, össze nem kapcsolt megnyilvánulásait egységes egészként összefogja.

A teljes anyag PDF fájlban itt található. Az anyagban Stefan Ulrych neve javítva 2017. július 6-án.

A geometriai algebra (GA) egy vektortér Clifford algebrája (CA) a valós számtest fölött. Többen azonos értelemben használják a két fogalmat, nem törődve azzal a különbséggel, hogy a CA-val szemben a GA a valós számokra szűkített, és sokkal inkább fókuszál a geometriai és fizikai felhasználásokra. Tréfásan úgy tekinthető a GA, mint a CA alkalmazott matematikája.

A komplex számokhoz hasonló fogalom származtatható a GA-ból, és feltételezhetően ez az egyik oka, hogy elegendőnek tartják a valós számokra szűkíteni a CA-t.

Nagyon tanulságos összevetni, amint a különböző szerzők a kételemű számok egyikét-másikát „levezetik” a valós CA-ból vagy a GA-ból. Ettől az áttekintéstől titokban azt is remélem, hogy segít majd az új számrendszer kialakításában, amelyet többek között a „Hogyan tovább egy új számrendszerhez?” című írásomban körvonalaztam.

A teljes anyag PDF fájlban itt található, 3. oldalon a képletek javítva és módosítva 2017.06.03-án, Stefan Ulrych neve javítva 2017. július 6-án.

Alkalmatlan matematikai modell miatt hibás a Bell-kísérletek értelmezése

Néhány nappal ezelőtt elárasztották a bulvársajtót az angolul Big Bell Testnek nevezett kísérletről szóló hírek. Nem kívánok véleményt nyilvánítani a témában készült „híranyagok” szalagcímeiben a „százezren bizonyították”, az „Einstein tévedett” és hasonló blikkfangos, de irritálóan hamis megnyilvánulásokkal kapcsolatban. Sokkal inkább magának a Bell-egyenlőtlenségnek az értelmezését szeretném bírálni. Korábban kifejtettem már a véleményemet ezzel kapcsolatban; a „Kvantummacskák és más kvantumhuncutságok I-IV.”¹ című cikk-sorozat utolsó részében. E szériának minden írása a kvantumfizika alapvető fogalmait magyarázza egy kicsit másképp, így a kvantum-összefonódást, az EPR gondolatkísérlet körüli vitát, a rejtett változókat és végül J. S. Bell egyenlőtlenségeit, melyek abból a célból születtek, hogy kísérletekkel eldönhető legyen a rejtett változók létének kérdése. Most nem szeretném a cikksorozat részletességével tárgyalni a témát, de szükségesnek tartom ismét összefoglalni a Bell-egyenlőtlenséggel kapcsolatos probléma lényegét.

1. A valószínűségek matematikájának rövid áttekintése

________________________________

Röpke gondolatok egy ÉS-beli cikk apropóján¹

Bár Avar János nem idézi George Steinert a rövid kis eszmefuttatásában a „Tényen túliak” című írásában, de épp azt a jelenséget járja körbe, amit a polihisztor esszéista így fogalmazott meg fél évszázaddal ezelőtt:

„Korunkban obszkurantizmus és őrület fertőzte meg a politika nyelvét. Nincs olyan otromba hazugság, amely ne lelne buzgó kimondóra, nincs olyan aljas brutalitás, amelynek ne kelne védelmére a hisztoricizmus szófacsarása. Hacsak nem adhatjuk bizonyos mértékben vissza újságjaink, törvényeink, politikai aktusaink szavainak világos és szigorúan körülírt jelentését, életünk még közelebb kerül a káoszhoz. Akkor egy új sötét középkor jön reánk.”

Írásaimban már többször idéztem a fenti mondatokat, de most sem hagyhattam ki aktualitása miatt. Ötven év alatt a helyzet nem javult, sőt rosszabb lett. Avar János cikke ürügyén azonban nem is erről akarok írni, hanem örök témámról; az információról.

___________________________

¹Avar János, Tényen túliak, Élet és Irodalom, Agora, 2016. november 18.

²George Steiner, The retreat from the word / Egyre távolabb a szótól (1961), esszékötetben angolul: Language and Silence, Atheneum 1970, magyarul Egyre távolabb a szótól, Európa Könyvkiadó, 1970

 A teljes anyag PDF fájlban itt található. A Nature-beli cikk linkjét 2023. november 24-én javítottam, elavult a korábbi.

Desiderata

„Izgalmas lett a téli este
és körénk szállt a túlvilág:
számok nőttek elő a földből
és bujkáltak egymáson át”
/Szabó Lőrinc, Lóci meg a számok/

1. A szám fogalma

A számok fogalma nem pontosan definiált a matematikában, olyan alapfogalom, amelyet nem vezetünk vissza más fogalmakra, csak körülírjuk egyfajta axiómaként. Általában olyan matematikai objektumként jellemezzük a számokat, amelyek sorrendképzésre, számolásra, mérésre, mennyiségek összehasonlítására, és azonosításra (címkézésre) használhatók. A számok rendszere folyamatosan bővül, ahogy a matematika fejlődik, és ma nagyon jelentős változáson megy keresztül.
A számok legfontosabb képviselői az alábbiak, felfedezésük történeti sorrendjében:

• Természetes számok,
• Egész számok, azaz a természetes számok 0-val és negatív számokkal bővítve,
• Racionális számok, az egészek hányadosaként megjelenő számok,
• Valós számok. azaz a racionális számok bővítése irracionális számokkal. Az irracionális számok a természetben előforduló olyan mennyiségek leírására alkalmasak, melyek racionális számként nem jellemezhetők.
• Komplex számok, melyek lehetővé teszik a gyökvonást negatív számokon,
• Kételemű számok, azaz a komplex számok és „testvér-számaik”, melyek jellemzője, hogy az egyik additív elemük valós szám, a másik additív elemük olyan nem valós, képzetes szám, melynek négyzete valós szám. Három, egymástól lényegesen eltérő típusuk van:
• komplex számok, melyek képzetes egységének négyzete –1-gyel egyenlő,
• parabolikus – vagy ismertebb nevén duális – számok, melyek képzetes egységének négyzete 0-val egyenlő, de nem azonos a 0-val,
• hiperbolikus számok, melyek képzetes egységének négyzete +1-gyel egyenlő, de nem azonos a valós ±1-gyel.

A fentieken kívül vannak egyéb számfajták is, de azok kevésbé fontosak a vizsgálódásaim szempontjából. Minden útkeresésben sok lehetőség közül választhatunk, így van ez a számrendszereknél is. A címben utalt számrendszer a számok rendszerének olyan bővítése, melynek a fent felsorolt valamennyi számtípus a részét képezi. A 2. pontban azokat a feltételeket és szempontokat sorolom fel, melyek leszűkíthetik a választási lehetőségeket, és megkönnyíthetik – vagy éppen megnehezíthetik – az új számrendszer felfedezését, ha egyáltalán léteznek olyan számok, melyek megfelelnek a kívánság-lista követelményeinek.

A teljes anyag PDF fájlban itt található, mely 2016. december 12-én korrigált és bővített változat.