Kételemű számok, mint téridő-elemek a valószínűségszámításban

1. Bevezető gondolatok

Néhány hete olvastam egy cikket az ÉS-ben; „A politikában nem a valószínűségek döntenek”¹ címmel. A cikk egy szociológussal készített interjú, és elsősorban az Európai Unió jelenlegi helyzetéről és jövőjéről szól. Nem ez a cikk adta írásom apropóját, de akár adhatta volna, ugyanis a cikk a fő mondandóján kívül azt is érzékelteti, hogy mennyire nem értik a valószínűségszámítás matematikáját még azok sem, akiknek munkaeszköze. Nem figyelnek oda azokra a forradalmi változásokra, melyek jelenleg a valószínűségszámítás módszertanát érintik.

A témával kapcsolatban alapvető problémának érzem, hogy nem vesszük elég komolyan a több mint száz éve tudottakat a téridőről, arról, hogy a tér és az idő nem önmagukban külön-külön létező entitások, csak együtt létezhetnek, az egyik változása magával vonja a másik változását. Sok tudományterület figyelmen kívül hagyja mindezt, közöttük a kiemelkedően fontos valószínűségszámítás is, és ennek eredményei illetve ellentmondásai áthatják a tudomány egészét. A tér és az idő egymástól függő változásának felismerése a speciális relativitáselmélettel kezdődött, de kevésbé tudott, hogy a kvantummechanikában – továbbiakban QM – a komplex számok használatának is az az oka, hogy a változások téridőben történnek, és nem az abszolút tér és az abszolút idő hátterén írhatóak le az események. Közel száz évnek kellett eltelnie, hogy megjelenjen a gondolat; a QM-beli valószínűségszámítás módszertana általánosan kötelező minden valószínűség­számításban, de nem úgy, ahogy kezdetben néhányan gondolták. Ennek az új felismerésnek az első lépcsője az volt, amikor néhány éve – elsősorban Andrei Khrennikov² írásaiban – megjelent a hiperbolikus QM lehetősége. Ennek az elképzelésnek a tovább gondolásával tudtam levezetni, hogy a parabolikus QM alap-összefüggései a klasszikus valószínűségszámítás alapműveleteivel egyeznek meg.³

______________________________

¹ „A politikában nem a valószínűségek döntenek – Bruszt László szociológussal Rádai Eszter készített interjút”, Élet és Irodalom, LX. évfolyam, 34. szám, 2016. augusztus 26.  7. oldal;
https://www.es.hu/cikk/2016-08-26/radai-eszter/8222a-politikaban-nem-a-valoszinusegek-dontenek8221.html

² Lásd például Adrei Khrennikov, „Hyperbolic quantum mechanics” című írását; http://arxiv.org/abs/quant-ph/0101002

³ Lásd például „Széljegyzetek Andrei Khrennikov hiperbolikus kvantummechanikájához” című cikkemet.

A teljes anyag PDF fájlban itt található, 2018. június 27-én egy link javítva.

Bell egyenlőtlenségek

Tartalom

1. Bevezető gondolatok
2. A kvantumjelenségek és az információ
3. A kvantumjelenségek és a mérés
3.1. A kételemű számok, mint speciális végtelen-modellek
3.2. A kételemű számok, mint téridő-modellek
3.3. A valószínűségek összegzési szabályai
3.3.1. Valószínűségek összegzése a jelenlegi kvantumleírásokban – komplex interferencia
3.3.2. Valószínűségek klasszikus összegzése – parabolikus interferencia
3.3.3. Hiperbolikus valószínűségek összegzése – hiperbolikus interferencia
3.4. A kételemű számok Descartes koordinátái és polárkoordinátái
4. Mérés és információ – sejtések megfogalmazása a QM nem-teljességével kapcsolatban
5. A Bell egyenlőtlenségek

1. Bevezető gondolatok

A cikksorozatom végére hagytam a számomra legizgalmasabb és legérdekesebb részt a bizarrnak tartott kvantum-jelenségekre vonatkozóan. A Bell egyenlőtlenségek tárgyalásához szükséges volt azoknak a témáknak az áttekintése, melyekről az előző kis írásaim szóltak, és még ebben a cikkben is hosszú gondolatsor előzi meg a Bell egyenlőtlenségek tárgyalását. Ezek a témák azonban feltétlenül szükségesek ahhoz, hogy megfelelően tudjuk értelmezni a Bell egyenlőtlenségeket.

Idézem Geszti Tamás Kvantummechanika című könyvének egy összefoglalóját az EPR gondolatkísérletről, mivel ennek segítségével érzékeltetni tudom, hogy én mit is gondolok:

„Tekintsük át bevezetésül kicsit részletesebben az EPR-cikkben megfogalmazott követelményeket, a spinek nyelvén elmondva:
1. tökéletes antikorreláció;
2. lokalitás: a szétrepülés után van két rendszerünk kölcsönhatás nélkül (kvantummechanika: nincs!); a második rendszer állapotát nem befolyásolhatja, hogy az elsőn mit mérünk (kvantummechanika: nincs első és második!);
3. valóság: "a második spinvetület" értékét az első mérése után a rendszer megzavarása nélkül biztosan tudjuk, ez tehát egy "eleme a fizikai valóságnak", ami a kvantummechanikában nincs benne;
4. teljesség: a kvantummechanika nem teljes, mert a fizikai valóság egy elemét nem tartalmazza.
A ma legelterjedtebb álláspont szerint ebben a kritikus feltevés a lokalitás: a kvantummechanika teljes, de csak a kétrészecske-állapotok valóságosak, amelyek (itt) egy részecske spinvetületét mérve meghatározhatók, a második mérés ezt csak ellenőrizheti.

A teljes szöveg PDF fájlban itt található, 2016. július 4-én javított verzió.

Az EPR gondolatkísérlet és a rejtett változók elmélete

1. Az EPR gondolatkísérlet és a „titokzatos” távolhatás

A kvantummechanikával kapcsolatban Einsteint több dolog zavarta, egyrészt az, hogy a leírásmódja nem tükrözi a dolgok determinisztikus jellegét, másrészt valamiféle nem-lokalitásra¹ lehet következtetni belőle, és ez ellentmond eddigi tapasztalatainknak. Ellenérzéseit az elhíresült EPR gondolatkísérletben fogalmazta meg, melyet Boris Podolsky-val és Nathan Rosen-nel közösen publikált. Nagyon leegyszerűsítve ez a gondolatkísérlet arról szól, hogyha két kölcsönható részecske eltávolodik egymástól, akkor – a kölcsönhatásuk során „elszenvedett” – állapotváltozásuk miatt az egyik részecskén végzett mérés a másikról is szolgáltat információt. Természetesen mindez csak akkor igaz, ha a részecskéket időközben más hatás nem éri, eltávolodásuk mértéke viszont nem számít. Ezt sokan úgy értelmezik, mintha létezne egy „titokzatos” távolhatás, amellyel az egyiken végzett mérés a másikra is hatással lenne. Nem minősítem a problémát, mert a kvantummacskáról szóló cikkemben² már megfogalmaztam értetlenségemet, hiszen ha Schrödinger macskájának gondolatjátékát egy kicsit megváltoztatjuk azzal, hogy a cicát és a gyilkos szerszámot az általunk is tudott, de eredményét tekintve ismeretlen interakciójuk után tetszőleges távolságra visszük egymástól, akkor állapotuk valószínűségeinek matematikai leírása mit sem változik addig, amíg valamilyen hatás nem éri a kettős rendszer bármelyikét. Az egyikükön végzett „mérés” pedig információt ad a másik állapotáról is. Az ember nem lát ebben semmi problémát addig, amíg a kvantummechanika szakzsargonját bele nem keverjük, azaz arról beszélünk a részecskék hullámegyenletét tekintve, hogy a mérés során a hullámegyenlet „összeomlik”, és a részecske „beugrik” a mért állapotba, az ő mérése hatására pedig a másik részecskének is „be kell ugrania” a mérésből következtetett állapotába. Erről és általánosságban a mérési folyamatokról egy későbbi cikkben fogok részletesebben írni a Bell-egyenlőtlenségek kapcsán.

Véleményem szerint itt is hasonló a probléma ahhoz, amiről már írtam az entrópiával kapcsolatban. Ugyanis egy entrópia-számításkor két rendszer összenyitásánál mért entrópia-változásban nincs semmi különös, ha nem feledkezünk meg az „összenyitás” mozzanatáról, melyben az addig két különálló rendszer eggyé válva veszít a bonyolultságából, ami matematikailag kifejezve azt jelenti, hogy az entrópia nő. Ha úgy interpretáljuk a hőtan második főtételét, amint sokan teszik – például: „spontán folyamatok esetében a magukra hagyott rendszerek entrópiája nem csökkenhet” – akkor épp a változás okozója marad homályban. A példaként felhozott meghatározásban a „spontán folyamatok” szóhasználat fedi el a lényeget, azt, hogy nyíltságot feltételező kölcsönhatások után lezajló folyamatról van szó. A kezdőlépést jelentő nyíltság pedig nem jelent mást, mint a két rendszer egyesítését, és épp ez az okozója az entrópia-növekedésnek. Mivel abszolút zárt rendszer nincs, sőt a rendszerekre általában a fokozott nyitottság a jellemző, ezért a folyamatok többsége, tehát a spontán folyamatok valóban entrópia növekedéssel járnak.

____________________________

¹ Nem-lokalitás alatt általában az értendő, hogy a tér két pontja között valamiféle időtlen kapcsolat áll fenn.

² Lásd „Kvantummacskák és más kvantumhuncutságok I. rész”

A teljes anyag PDF fájlban itt található

Einstein és a dobókocka

Tekintettel arra, hogy az EPR gondolatkísérletről, valamint a Bell egyenlőtlenségekről is szeretnék írni, ezek előtt viszont érdemes néhány szót ejteni Einstein sokat idézett mondatáról; „Isten nem kockázik az univerzummal”. Einstein a külvilágot objektívnak, a megismerési folyamatunktól függetlenül létezőnek gondolta, okozatiságában pedig determináltnak, azaz nem a véletlenek vagy a valószínűségek játékának képzelte. Ez a vélekedés nem jelenti azt, hogy a világról szóló tudásunk ne lenne csak valószínűségi szinten igaz. Állítólag azt is Einstein mondta, hogy „Amennyiben a matematika törvényei a valóságra vonatkoznak, nem bizonyosak; amennyiben viszont bizonyosak, nem a valóságra vonatkoznak.” Így a kvantummechanika valószínűségszámítási módszereit csak annyiban vitatta, hogy azok nem a valóság jellemzői, hanem a valóságról szóló tudásunké, és bízott egy pontosabb, nem pusztán a valószínűségeken alapuló leírásban.

Miközben osztozom Einstein objektív világban való hitében, a valóság szigorúan determinisztikus jellegével viszont már nem értek egyet. Korábban írtam¹ arról, hogy a determinizmus és indeterminizmus közötti vitában én egy harmadik lehetőségben hiszek; abban, hogy ugyan mindennek megvan az oka – ebben az értelemben determinált a valóság – ennek ellenére a jövő nem abszolút értelemben meghatározott, a jövő csak egy bizonyos valószínűséggel adott. Hangsúlyozom, hogy ez a megállapítás a jövő valóságára vonatkozik, és nem a megvalósult jelenre és múltra. Tulajdonképpen ez az elgondolás megfeleltethető annak, amit a kvantummechanika matematikailag megfogalmaz. Mindez az események és összefonódások potenciális végtelenségéből következik, pontosabban ennek következményéből, az új minőségek megjelenéséből. Ezek az új minőségek és a velük együtt megjelenő új törvényszerűségek szintén megjósolhatóak lehetnek, de csak az ismert jelenségeknél kisebb valószínűséggel, ezért a jövőképre való reagálás sem teljesen kiszámítható. Vegyük észre, hogy a jövő csak akkor lehet determinált, ha a jövőről szóló tudás is az. Eddigi tapasztalataink szerint az információ véges sebességgel terjed, így a valóságban zajló változásokról az információk mindig kisebb-nagyobb időeltolással jutnak el hozzánk. A kvantummechanika egyik értelmezése – az úgynevezett nem-lokalitás elve – viszont azzal magyaráz bizonyos jelenségeket, hogy létezik a tértől és időtől független kommunikáció. Erről szólnak a Bell-egyenlőtlenséget cáfoló kísérletek, pontosabban ezek speciális értelmezései. Később erről részletesebben szólok majd. Előzetesen csak annyit, hogy én nem hiszek a valóság nem-lokális jellegében, hiszen ez egyfajta végtelen mennyiség – az információterjedés végtelen sebességének – aktuális létét jelentené. Én arra a tapasztalatra alapozom az elképzeléseimet, hogy mennyiségi végtelent nem érzékelünk, az csak potenciálisan létezik, a végtelen gyakorlati megjelenése; potencialitásának aktuálissá válása mindig egy új minőség megjelenésének formáját ölti.²

_______________________________

¹ Lásd a következő cikket: „Okozatiság és célkövetés”.

² Lásd például a következő írásaimat: „A végtelen megragadása”, „Út a természetes számoktól a valós számokon át a kételemű számokig”.

Röpke gondolatok John Gribbin könyvét olvasva¹

Meglehetősen eklektikus írás John Gribbin Számolás kvantummacskákkal – A számológépektől a számítógépekig, a Colossustól a kubitekig című könyve. Keveredik benne a tudománytörténet, valamint néhány tudós életrajzi elemei és az informatika fejlődésének bemutatása, kiegészítve a kvantumszámítógépek elméletének és gyakorlati próbálkozásainak ismertetésével.

A könyv első egyharmada Turing és Neumann életrajzán keresztül mutatja be a számítástechnika kezdeteit. A második harmad elsősorban Feynman és Bell munkásságán keresztül vezet be a kvantumszámítógépek lehetőségének tárgyalásába. Végül az utolsó harmad a kvantumszintű számolás kilátásait, nehézségeit és kezdeti technikai megoldásait mutatja be.

Szokásomhoz híven nem a könyvet fogom bemutatni néhány íráson keresztül, hanem azokat a gondolataimat, amelyek a könyv olvastán ötlöttek fel bennem. Vannak köztük régi gondolatok, és néhány új ötlet is, melyek részletesebb kifejtését későbbre hagyom.

1. Schrödinger és a kiscica

Régóta furcsállom a Schrödinger-macska körüli felhajtást. Két- vagy több rendszer összefonódása alatt azt értik, hogy az egyes rendszereket nem lehet egymástól függetlenül leírni. Nem egészen értem, hogy a kvantum-macska – és egyáltalán bármi – miképp lehet önmagával összefonódva, azaz a macska esetében élő-holt állapotban. Mivel úton-útfélen sok szó esik erről a gondolatkísérletről, ezért érdemes részletesebben is áttekinteni.

________________________________

¹ John Gribbin; Számolás kvantummacskákkal – A számológépektől a számítógépekig, a Colossustól a kubitekig

A teljes cikk itt tekinthető meg PDF fájlban, 2016. december 4-én javított verzió.

Röpke gondolatok egy könyvről

Vannak, akik a legjobb falatot utoljára hagyják, és vannak, akik fordítva, mindig a legjobb darabkát választják a hátralévő ételből. Én ez utóbbiak közé tartozom, és Spiró esszékötetében is ösztönösen a leginkább szívmelengetővel kezdtem, az utolsó esszével Bada tanár úrról: „Ha nem találkozunk vele, másképp alakul minden. Nem volnának bennünk még ma is fényesek az egyre távolibb ideák, nem irányítaná törekvéseinket a tökéletesség akarása, nem vívnánk az eget, nem ásnánk mély kutakat…”. A magyar tanáromra, Dékány Gáborra emlékeztet Bada tanár úr. Szerencsések azok, akiknek volt/van olyan tanáruk, aki hozzá hasonló.

Egy könyvismertetés során valaki úgy jellemezte Spirónak ezt az esszékötetét, hogy azokról is sok jót mond¹, akikkel szemben a legkritikusabb. Ez volt az egyik ok – az író neve mellett – amiért megvettem, és elolvastam a kötetet, és nem csalódtam. Sokat tanultam a történelmünkről, írókról, színészekről, a lengyel kultúráról, és sok minden másról. Elsősorban azonban az emberségről szólnak ezek az írások, az embernek maradás mikéntjéről.

Nem tudom nem idézni a számomra – bevallom restelkedve – eddig ismeretlen Borowski néhány mondatát, amit Spiró is felemlít a „Nálunk Auschwitzban…” elmélkedései közül: „Csak most nyílt fel a szemem, most értettem meg az ókor lényegét. Micsoda iszonyatos bűntény minden egyes piramis, szentély és görög szobor! Mennyi vér folyt el a római utakon, határvédő erődítményeken és városépítkezéseken! Az egész ókor voltaképpen egy roppant méretű koncentrációs tábor, ahol a rabnak homlokára égették szolgasága jelét, s keresztre feszítették, ha szökni próbált.” Azért is fontosak nekem ezek a gondolatok, mert én az erőt sugározni hivatott monumentális építményekben mindig is beleláttam az építőik embertelen erőfeszítéseit, és az építtetők részvétlen hiúságát és könyörtelenségét. Számomra nem mentség a szépség és a harmónia, ha verejtékből, és vérből épült. Az össze nem omló Déva-várakba mindig élőket falaznak. Amióta az eszemet tudom, vallom, hogy nem a cél szentesíti az eszközt, hanem épp ellenkezőleg; az eszköz szentesíti a célt. Csak az a cél igaz, és követendő, amit tisztességes, emberséges eszközökkel lehet elérni. Visszatérve Spiró Borowskiról szóló első két esszéjére, az írása alapján megértem, miért tartja a szerző Borowskit a „XX. századi lengyel irodalom talán legnagyobb alakjának”. Borowski „Úgy ábrázolja magát, mint aki embertelen lett az embertelenségben. De mert így ábrázol, ember maradt.” Ahogy ezt láttatja Spiró, az zseniális. Többet megértettem általa a haláltáborokról, a szörnyűség tudomásul vételéről és egyúttal elfogadhatatlanságáról, mint eddig bármikor is, bármit is olvastam róla.

__________________________________

¹ Van egy kivétel; „A húsvét visszavétele” című, ahol a Passió című Gibson-filmről semmi jót nem tud mondani a szerző, véleményem szerint is jogosan. És miközben az optimizmus jellemző rám, egyet kell értenem az esszé utolsó, igen pesszimista bekezdésével: „A gyűlölet azonban – a szeretetre épülő, eddig legmagasztosabb vallás nevében álságosan – bárkiben felkelthető, aki nem ismeri sem a történelmet, sem a Bibliát. Ez a film azoknak szól, akik mind zsidó, mind keresztény, mind muzulmán szempontból pogányok, vagyis tökéletesen tudatlanok. Világszerte egyre többen vannak: ők az abszolút többség, bennük van az Üzlet. Őket manipulálják azok, akik a nácizmus felé menetelnek eltökélten.”

Florin Moldoveanu egyik cikkének apropóján¹

Mindenekelőtt azt szeretném tisztázni, hogy az alcímben utalt cikkben hiperbolikus kvantummechanikáról van szó, mely téves elnevezés; hiperbolikusnak hiperbolikus a hivatkozott matematika, de lényegét tekintve nem csak a kvantummechanikára vonatkozik. Annyi köze van a kvantummechanikához, hogy annak különböző ábrázolásaiban a komplex képzetes egység helyett a hiperbolikus képzetes egységet használjuk.² A kérdés az, hogy egy ilyen matematikai eszköztár használható-e bárhol is. Florin Moldoveanu annak a véleményének ad hangot, hogy egy efféle modell nem életképes jelölt a Természet (sic!) leírására. Egy korábbi cikkemben³ Khrennikov nyomán felvetettem annak a lehetőségét, hogy nemcsak a komplex, és a hiperbolikus számok, de a parabolikus (másképp duális) számok is használhatóak a Hilbert tér koordinátáiként. A koordinátáknál használt számrendszer kiválasztása pedig szerintem a leírt folyamat entrópiaváltozásának jellegétől függ, és nem az adott rendszer mikro-, vagy makro-jellegétől.⁴ Ebben az értelemben a hiperbolikus valószínűségek nagyon is életképes leíró eszközöknek látszanak, mégpedig akkor, ha az entrópia csökken egy változás során. Ezzel kapcsolatban egy fizikus kételkedése annyiban jogos, hogy egyrészt ilyen típusú változás ritkán fordul elő az általa vizsgált jelenségeknél, másrészt ez az állítás még csak munkahipotézis.

________________________________

¹ Florin Moldoveanu, „Non Viability of Hyperbolic Quantum Mechanics as a Theory of Nature”;

 http://arxiv.org/pdf/1311.6461v2.pdf

² Ez a kritika az elnevezéssel kapcsolatban nem elsősorban Moldoveanunak szól, mert ő már egy mások által használt kifejezéssel él.

³ Lásd a „Széljegyzetek Andrei Khrennikov hiperbolikus kvantummechanikájához” című cikket.

⁴ Ne felejtsük el, hogy a mérés entrópia-változást generál a mért rendszerben. Jelenlegi tapasztalataink szerint kvantum-szinten az információszerzés – azaz a mérés – információtörléssel jár, így a mérés entrópia-növekedést okoz a megfigyelt rendszerben. Ez lehet az oka annak, hogy komplex valószínűségi amplitúdókkal írható le a folyamat.

A teljes cikk itt tekinthető meg PDF fájlban, 2016. július 3-án javított verzió.

A kiszámíthatóság szerepe a fizikában

„A fázistér pontjának koordinátáit végtelen pontossággal – azaz minden tizedesjegyet ismerve! – kellene tudnunk, hogy értelme legyen az állításnak, miszerint a pont nem kiszámítható. (Véges tizedestörttel leírt szám mindig kiszámítható.) Egy szám tizedes kifejtésének véges része semmit nem mond a szám teljes kifejtésének kiszámíthatóságáról. Azonban minden fizikai mérés csak meghatározott korlátos pontossággal végezhető el, csak véges számú tizedesjegyről adhat információt. Értelmetlenné teszi-e ez a "kiszámítható szám" egész koncepcióját a fizikai mérésekre alkalmazva?”
(Roger Penrose, A császár új elméje – Számítógépek, gondolkodás és a fizika törvényei, 5. fejezet; A klasszikus világ, Fázistér)¹

1. A természetes számok és a végtelen minőségi jellege

A végtelenek minőségi jellege egészen más megvilágításba helyezi a kiszámítható szám és általában a kiszámíthatóság fogalmát. Emlékeztetőül annyit a végtelenek minőségi megközelítéséről, hogy a valós számegyenesemet olyannak gondolom, mely potenciálisan minden természetes számot tartalmaz, de a helyiértékes számábrázolásban, a 10-es számrendszerben 10^μ formában felírható számosságot, az úgynevezett kontinuum-végtelent már nem tartalmazza, ahol μ a természetes számok számossága. Ez azt jelenti, hogy potenciálisan μ helyiérték áll a rendelkezésemre a pozitív egészek ábrázolására. Igaz egyúttal az is, hogy aktuálisan csak véges – bár tetszőlegesen nagy – számot vagyok képes megjeleníteni. Ez a gondolatsor ihlette a kételemű számok képzetes elemeinek végtelen-értelmezését. (A kételemű számok alapvető tulajdonságait lásd a Mellékletben, amit egy korábbi cikkemből emeltem át, a minőségi végtelen modelljének megközelítéseit pedig lásd „A geometriai algebrában rejtőzködő végtelen” című cikkben. )

________________________________________

¹ “It would require infinite precision for the coordinates of a phase-space point- i.e. all the decimal places!- in order for it to make sense to say that the point is non-computable. (A number described by a finite decimal is always computable.) A finite portion of .a decimal expansion of a number tells us nothing about the computability of the entire expansion of that number. But all physical measurements have a definite limitation on how accurately they can be performed, and can only give information about a finite number of decimal places. Does this nullify the whole concept of 'computable number' as applied to physical measurements?” (Roger Penrose, The Emperor’s New Mind – Concerning Computers, Minds, and The Laws of Physics, Chapter 5; The classical World, Phase space)

A teljes anyag PDF fájlban itt található, 2017. július 22-én javított verzió.

A kételemű számok normája, mint valószínűségi amplitúdó

Amióta csak felfedeztem a kételemű számok családját és szoros kapcsolatukat a minőségi végtelennel és a téridővel, tervbe vettem¹, hogy végiggondolom, vajon a kvantummechanikában a komplex számok, mint valószínűségi amplitúdók, helyettesíthetőek-e a hiperbolikus és a parabolikus (duális) számokkal, és milyen körülmények között kell az egyiküket, vagy a másikukat használni.

Nagyon megörültem, amikor az interneten ráakadtam Andrei Khrennikov cikkeire², melyekben bemutatja az általa hiperbolikus kvantummechanikának nevezett elméletet, melyben a hiperbolikus számokat vonja be a valószínűségek összegzésébe. Teóriájának használhatóságát többen vitatják³, de érdemes foglalkozni az elképzelésével, mert szerintem helyes általánosítását adja a valószínűségek számításának, és a kételemű számok felhasználásának.

1. Andrei Khrennikov hiperbolikus kvantummechanikája

Nézzük, miképp jut el Andrei Khrennikov a hiperbolikus kvantummechanikájához. Nem fogom pontosan követni a szerző jelöléseit és matematikai levezetéseit⁴, mert egy fontos következtetés szemléletes megjelenését jobban segíti az általam választott leírás. A két leírás matematikailag egyenértékű.
Egymást kizáró eseményekre a valószínűségek klasszikus összegzési szabálya a következő:

________________________________

¹ Lásd „A kvantumelmélet matematikájáról II.” című cikket.

² Lásd például: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0101002

³ Lásd például: http://arxiv.org/pdf/1311.6461.pdf

⁴ Lásd a „Hyperbolic quantum mechanics” című cikkét: http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0101002v1.pdf

A teljes anyag PDF fájlban itt található, 2016. július 3-án javított verzió. 2021. április 28-án egy előjel-hiba javítva. 2021. május 6-án néhány stiláris javítás és egy fogalmi pontosítás a 4.1 pontban.

Új dimenziók

«1+1 az nem „2”
– hanem:
egy ILYEN
meg
egy OLYAN
(és persze ez is csak akkor, ha egyáltalán : „+”)»
/Fodor Ákos,Még magasabb matematika/

Egy-egy gondolatsort¹ követve többször jutottam arra a következtetésre, hogy a valóságban az aktuális végtelen, mint mennyiség nem létezik², csak egy új minőség álruhájában. Értem ezt úgy, hogy mielőtt egy mennyiségi növekedés végtelenné válna; egy új minőségbe csap át, azaz a végtelen nagy, mint mennyiség potenciálisan létezik ugyan, de aktuálissá válása felülírja az adott mennyiség minőségi jegyeit, és egy új tulajdonságokkal bíró egyedi létezővé változik.

A matematikai végtelen fogalma kezdetben abból a tapasztalatból táplálkozott, ami szerint egy halomba rakott számtalan aprósághoz újabb apróságok hozzáadásával a mennyiség változatlanul számtalan sok marad számunkra. Vagy, amint Y. D. Sergeyev hivatkozik egyik cikkében³ egy Amazonas menti törzsre, akik állítólag csak kettőig tudtak számolni, a nagyobb mennyiségek számukra mind a „sok” megnevezést kapták. Cantor végtelen fogalmain elvégzett alapműveletek; az összeadás, a szorzás hasonló képet mutatnak. Egyedül a rendezettséget tükröző rendszámoknál különbözteti meg ez a számrendszer például az ’ω’ és az ’ω+1’ rendszámokat a végtelenek körében. Ez utóbbi törekvésben azonban sokkal inkább az szemlélet fogalmazódik meg, hogy Cantor feltevése szerint jólrendezettek, azaz sorban egymás után következőek a végtelen mennyiségek. Ettől a látásmódtól alapjaiban tér el a végtelenek minőségi megközelítése.

_____________________________________

¹ Lásd például „Az új végtelenről” című cikket.

² Újra és újra rácsodálkozom Arisztotelész éleslátására, amikor a természetes számokkal kapcsolatban megjegyzi, hogy „mindig lehetséges egy nagyobb számra gondolni… ez a végtelen potenciális, sohasem aktuális.” Arisztotelész, Fizika, III. könyv, 7. rész. Hasonlóan vélekedik az aktuális végtelenről egy jóval későbbi kor nagy matematikusa, Poincaré: „Aktuális végtelen nem létezik, Cantor hívei elfelejtették ezt, és ezért kerültek ellentmondásba.”

³ Lásd: http://arxiv.org/pdf/1203.4141v1.pdf

A teljes anyag PDF fájlban itt található.