Matematika (3)
Gyorsulásmentes mozgás-modellek a kételeműek számsíkjain
„„Két mennyiséget elosztani egymással puszta számolás; a matematika azt kitalálni, hogy mit osszunk mivel.”
(Jordan Ellenberg, Ne tévedjünk)
Belefogtam a differenciál- és integrálszámítás fogalmainak tisztázásába a kételemű számokon, természetesen a komplex számok kivételével, hiszen annak analízise egy jól kidolgozott területe a matematikának. Kezdett túl hosszú lenni a kalkulusról szóló cikk, ezért az előzményeit, pontosabban a kételemű számoknak azokat a fontos összefüggéseit –, amelyek megalapozzák analízisüket – jelen írásomban foglalom össze. Az itt szereplő összefüggések egy része már szerepelt korábbi cikkeimben, de most a differenciál- és integrálszámítás kontextusában, annak előkészítésére sorakoztattam fel a matematikai alapokat, kiegészítve újakkal és értelmezésükkel.
A teljes cikk PDF-ben itt található.
Határérték és folytonosság a kételemű számokon
„Jó ok adható arra, hogy miért nem lehet a valóságot folytonos mezőként ábrázolni. A kvantumjelenségekből látszólag biztosan következik, hogy egy véges energiájú, véges rendszer teljes mértékben leírható véges számok (kvantumszámok) véges halmazával. Úgy tűnik, hogy ez nincs összhangban a kontinuumelmélettel, és ahhoz kell vezetnie, hogy megpróbáljunk egy tisztán algebrai elméletet találni a valóság leírására. De senki sem tudja, hogyan lehet egy ilyen elmélet alapjaihoz hozzájutni.”
(Albert Einstein, A relativitáselmélet értelme).
A matematikai folytonossággal hasonló a probléma, mint a végtelennel; élesen eltér ugyanis a valóságban tapasztalható folytonosság a matematikában definiált fogalomtól. Amint aktuálisan létező mennyiségi végtelent nem tapasztalunk, úgy folytonosságot sem tapasztalhatunk abban az értelemben, amint azt a matematika definiálja, és e kettő ok-okozati kapcsolatban áll egymással.
A régóta ismert komplex számok körében könnyű volt értelmezni a konvergenciát és az analízis szinte minden elemét, hiszen lényegét tekintve ezeknek nem kellett sokban különböznie a valós vektoranalízisben használtaktól, a komplex számok, mint számvektorok értelmezése és abszolútértékük miatt. Ez a „hasonlóság” most még jobban érthető a komplex képzetes végtelen-kapcsolatából, pontosabban az intenzív és az extenzív végtelen hiányát modellező szerepéből, itt a végtelen alatt a kontinuumhipotézisben megfogalmazott végtelent értve.
A teljes anyag PDF-ben itt található.
Avagy léteznek-e aktuálisan a transzcendens számok?
“A matematikában azt hisszük, hogy végtelenül sok egész számunk van. De például minden olyan elképzelés, amelyik a tetszőlegesen távoli dolgok természetére vonatkozik, a fizikában hamisnak bizonyul. Ezért azt gondolom, hogy a matematikában is az.”
(John Horton Conway)
Ez a cikk egy másik folytatásának indult, de sokkal inkább kiegészítő töprengéseket tartalmaz a korábbi írásommal1 kapcsolatban. Az alcímben feltett kérdésre pedig sok válasz született, de sok kétely is megfogalmazódott, amióta a helyiértékes számábrázolásban a végtelen tizedestörtek fogalma bekerült a gondolkodásunkba. A Wikipédia egyik szócikkét idézve:
„A végtelen tizedestörtekkel való számolás definíciója felveti a végtelen aktualitásának kérdését. Ez egy bonyolult metamatematikai kérdés, ami azt feszegeti, hogy a végtelen sok lépésben megkonstruált matematikai objektumok valóban létezőknek tekinthetők-e, vagy csak a konstrukciójuk létezik. Általában az axiómák aktuálisnak veszik a végtelent, de vannak alternatív matematikai rendszerek, amik másként állnak ehhez a kérdéshez.”2
_____________________________________
1 „A végtelen kicsiben és nagyban I.”;
https://www.infinitemath.hu/archivum/matematika/442-a-vegtelen-kicsiben-es-nagyban-i
2 Lásd a „Tizedestört” szócikk utolsó bekezdését; Tizedestört – Wikipédia (wikipedia.org)
A teljes cikket PDF-ben lásd itt.
