2016. január 10., vasárnap 17:19

Problémák a geometriai algebrában

Írta:
Értékelés:
(0 szavazat)

Vannak olyan problémák a geometriai algebra kialakulóban lévő használatában1, amelyekre nem-igen tér ki a szakirodalom, ezekről szeretnék most néhány gondolatot felvetni. A vizsgálatomat leszűkítem azokra a geometriai algebrákra, ahol véges dimenziós Euklideszi vektortér és a valós számok teste a kiindulópont. Az Euklideszi vektortéren adottnak tekintek egy skaláris, vagy belső szorzatot, valamint a Grassmann által általánosított külső szorzatot, amit ˄‑szorzatnak is fogok nevezni. Ezek után egy úgynevezett geometriai szorzat kerül bevezetésre, mely a geometriai algebra alapművelete lesz.Ez a geometriai szorzat a két vektor belső és külső szorzatának összegével egyenlő. E szorzatot asszociatívnak deklarálják ahhoz hasonlóan, amint a Clifford algebra alapján a geometriai algebra legáltalánosabb, absztrakt, axiomatikus felépítésében teszik. A fent leírt esetben a szorzat asszociativitásának levezethetőségére láttam egy rossz példát Hestenes egyik könyvében, ahol épp a lényeg hiányzik, azaz a műveletek már definiált tulajdonságaiból az asszociativitás bizonyítása. A szerző csak a geometriai szorzat asszociativitásának elégségességét tudja bizonyítani a belső és a külső szorzat jól definiált tulajdonságaira vonatkozóan, a szükségességét viszont nem, tehát azt nem bizonyítja, hogy az alapműveletek tulajdonságaiból szükségszerűen következik a geometriai szorzat asszociativitása.

__________________________________________________________

1 Lásd például Chris Doran - Anthony Lasenby könyvét: Geometric Algebra for Physicists;
http://www.cambridge.org/nl/academic/subjects/physics/theoretical-physics-and-mathematical-physics/geometric-algebra-physicists?format=PB
vagy Stephen Gull, Anthony Lasenby, Chris Doran korábbi cikkét, „Imaginary Numbers are not Real — the Geometric Algebra of Spacetime;
http://geometry.mrao.cam.ac.uk/wp-content/uploads/2015/02/ImagNumbersArentReal.pdf , vagy másutt:

http://www.researchgate.net/publication/226188504_Imaginary_numbers_are_not_realThe_geometric_algebra_of_spacetime

  

Mai nappal töröltem az eredeti anyagot tartalmazó PDF fájlt, mert hibát találtam az egyik bizonyításban. A javítás folyamatban van, amint elkészül a teljes cikk; mellékelem. 2016. október. 5.

Megjelent: 317 alkalommal Utoljára frissítve: 2016. október 05., szerda 18:15
A hozzászóláshoz be kell jelentkezned