2016. január 23., szombat 20:37

A geometriai algebrában rejtőzködő végtelen

Írta:
Értékelés:
(0 szavazat)

1. A végtelen és a kételemű számok

Korábban már kapcsolatot találtam a kételemű számok, és a végtelen egy speciális értelmezése között. Ezt kétféleképpen tettem meg:

1.1. A végtelenről másképp – heurisztikus megközelítéssel1

A negatív számok gépi ábrázolása adta az ötletet, hogy a végtelen nagy számokat a valós tört számok helyiértékes számábrázolásához hasonlóan írjam fel, például egy speciális végtelen szám a következő helyiértékes alakban írható fel a tízes számrendszerben:

…999                                                               (1)

Azaz a …999 szám esetében megszámlálhatóan sok 9 szerepel az egész számok ábrázolására használt helyiértékeken a 10-es számrendszerben.

Mit tudunk elmondani erről a fenti végtelen nagy számról? Mindenekelőtt azt, amit a valós ’–1’-ről, azaz

…9992=1                                                         (2)

A fenti egyenlőséget az ember idegenkedve nézi, hiszen azt kaptuk, hogy egy végtelen nagy szám négyzete véges nagy. Ez hasonlóan értelmezhető, mint a gépi számítások során az un. túlcsordulás jelensége. Mondhatjuk, hogy a (2) egyenletet egy szorzáskor előfordult „túlcsordulás” magyarázza, mely akkor áll elő, ha a számábrázolás nem terjed ki az un. transzfinit – azaz minden természetes számnál nagyobb – helyiértékeken való számábrázolásra. Cantor fogalmait használva ez az a végtelen, amit 10μ formában írhatok fel, ahol μ a természetes számok számossága, azaz olyan végtelen, melynek helyiértékes ábrázolásában a sorrendben 10μ-dik helyiértéken értékes, azaz nem 0 számjegy áll. Ugyanakkor lehetnek olyan végtelen nagy számok, melyek minden természetes számnál nagyobbak, de kisebbek a transzfinit helyiértékeken is értékes – azaz nem 0 – számjegyeket is tartalmazó számoknál. Ezen számok egyike a (2) egyenletben megnevezett …999 szám is, tehát általában azok a számok, melyeknél a transzfinit helyiértéken lévő esetlegesen értékes számjegyekkel nem számolhatok, mert „nincs rá hely”, de tetszőlegesen nagy természetes számhoz tartozó helyiértéken van nem 0 számjegyük.

______________________________________________

1 Az itt leírtakat „Az idő, a tér és a végtelen” című írásom 4.5 pontjából emeltem át

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található, Stefan Ulrych neve javítva 2017. július 6-án.

Megjelent: 669 alkalommal Utoljára frissítve: 2017. július 06., csütörtök 16:21
A hozzászóláshoz be kell jelentkezned