Izgalmas végkifejlettel
1. Bevezető gondolatok
Emlékeztetőül megismétlem, hogy a geometriai algebra (GA) egy vektortér Clifford algebrája (CA) a valós számtest fölött. Nemcsak a CA és GA fogalmai körül van zavar, ahogy a korábbi cikkemben1 megfogalmaztam, de az algebra alapfogalmai, a csoport, a gyűrű, a test és a ferdetest kifejezések használata sem egységes. E fogalmak tömör megfogalmazásai a következők:
- Csoport: egyetlen kétváltozós asszociatív művelet egységelemmel és inverzzel,
- Gyűrű: kettő darab kétváltozós alapművelet; egy kommutatív művelet, amellyel a gyűrű elemei additív csoportot alkotnak, és egy asszociatív szorzási művelet, amely disztributív az összeadásra.
- Ferdetest: olyan gyűrű, amelynek a szorzásra nézve van egységeleme és inverze, azaz a 0-tól különböző elemek a szorzásra nézve csoportot alkotnak.
- Test: olyan ferdetest, amelynek multiplikatív csoportja kommutatív.
A csoport kapcsán beszélhetünk kommutatív, vagy Abel-féle csoportról, ha a csoportművelet kommutatív. Egységelemes gyűrű az, ahol a multiplikatív műveletre létezik egységelem. Ebben a tekintetben nem egységesek a definíciók, mivel a gyűrű fogalma alatt sokan magát az egységelemes gyűrűt értik. Az angol nyelvű szakirodalomban a field kifejezés a fenti definíciók közül általában a testnek felel meg az algebrában. A ferdetestre az angol irodalom a division ring kifejezést használja, de előfordul erre a skew field megnevezés is, amely inkább ott fordul elő, ahol a művelet antiszimmetriáját, azaz a kommutativitás hiányát hangsúlyozzák. Sajnos a field kifejezést következetlenül a kommutatív és a nem kommutatív esetre is használják, azaz testre és ferdetestre egyaránt.
___________________________________
1 Lásd „A Clifford algebra, a geometriai algebra és a kételemű számok” című írást.
A teljes anyag PDF fájlban itt található.