2011. november 06., vasárnap 15:36

Üdvözlet a baráti körnek

Szerettel üdvözlök mindenkit a honlapomon; munka közben. 

2011. november 03., csütörtök 11:27

Kapcsolatom a kételemű számokkal

A kételemű számokat a 70-es évek második felében fedeztem fel magamnak. Ekkor még nehéz volt információt szereznem, mert nem volt internet. Az egyetemen beszéltem róla, és kaptam egy anyagot a Cayley és a Clifford számokról. A kételemű számok azonban olyan egyszerűek, és nagyszerűek voltak, mint a komplex számok.  Egyébként az egyikük épp a komplex szám-rendszer volt, másikukat hiperbolikus számoknak neveztem, mivel szorzatuk geometriája a Lorentz transzformációt, azaz a hiperbolikus forgatást adta, a harmadik, legegyszerűbb formájuk - melyeket parabolikusnak neveztem - szorzatban egy egyenes menti eltolást adott, tehát egy speciális parabola menti mozgást. Így a háromféle szám-síkon a térbeli mozgások három lényeges formáját kaptam meg a számok összeszorzása során: eltolást, forgatást, és hiperbolikus forgatást, azaz a Lorentz transzformációt. Ráadásul ezek a mozgások mind egy speciális másodfokú görbe mentén történő eltolások voltak. Másodfokú, azaz kételemű számok, és másodfokú görbék. Annak idején a háromelemű számokkal is foglalkoztam, és találtam is egy olyan definíciót számhármasra, melyek három dimenziós terében a szorzás egy speciális felület, az x3+y3+z3-3xyz=r3 menti mozgás volt. Sajnos a fizikai ismereteim elégtelenek voltak arra, hogy ezek alkalmazhatóságát el tudtam volna dönteni. A matematikájuk azonban tetszett, mégsem foglalkoztam sokat velük, mert a kételeműek elcsábítottak.

A számok első - még írógéppel írt - elég kezdetleges összefoglalását beszkennelve a következő szövegre kattintva PDF formátumban elérhető: Ketelemu_history.pdf.

Akkoriban beszéltem még KK-val is a számaimról, ő algebrista lévén azt tanácsolta, hogy foglalkozzak félcsoportokkal, mert a három számsík közül kettő ideált is tartalmazó félcsoport. Engem azonban jobban izgatott a számok geometriai tulajdonsága, illetve halmazelméleti kapcsolata. A számok érdekessége, hogy nem valós egységelemükkel, mint görbülettel számolva, a kapott felületek egyikén az euklideszi geometria, másikon a gömbi geometria, a harmadikon pedig a hiperbolikus geometria érvényesül. Ez is egy nagyon korai anyagomban szerepel, ma átírtam szövegszerkesztővel, és megtalálható a „Kételemű számok és a geometria” cikkemben.

Amikor rátaláltam ezekre a számokra, egyszerűen nem értettem, hogy miért nincs irodalmuk. Még a szegényes szakirodalmi ismereteim alapján is megállapíthattam, hogy - a komplex számok kivételével - nem lehetnek nagyon ismertek, mert nagyszerűségük, felhasználhatóságuk biztosan gyorsan ismertté tette volna őket. Azt tudtam, hogy Feynman a Mai fizika című könyvében még biztosan nem ismerte a hiperbolikus számokat, mert a Lorentz transzformáció leírásakor nemcsak nem említi, de még meg is jegyzi, hogy a transzformáció érdekes módon hasonlít egy forgatáshoz, de nem az.

Hosszú évekig dédelgettem ezekkel a számokkal kapcsolatos gondolataimat. Hol elővettem őket, hol idő hiányában félre tettem. Tavaly - most már nyugdíjasként - ismét elkezdtem foglalkozni velük, és a tulajdonságaikat összefoglaltam a „Kételemű számok alaptulajdonságainak összehasonlítása" című írásomban.

A Cornell Egyetem könyvtárában - http://arxiv.org/ - ráleltem két olasz fizikus, F. és V. Catoni, valamint szerzőtársaik több cikkére, ahol végre szerepelnek a hiperbolikus számok, mint a relativitás elmélet leírására legalkalmasabb matematikai eszközök. A következő szövegekre kattintva PDF formátumban elérhető a fizikusok két cikke: 0508011v1.pdf, és 0509161v1.pdf, melyek a fent említett http://arxiv.org/ helyről származnak. Azóta már több szerzőtől olvastam a hiperbolikus, vagy más néven perplex számokról, sőt a parabolikus számokról is, melyeket általában duális számoknak nevez az irodalom.

Az igazán izgalmas rész azonban még hátra van. Eddig úgy alkalmaztam - mintegy mechanikusan - a kételemű számokat, amint a komplex számokat használjuk a kvantumfizikában. Ahol szintén úgy alkalmazzák a komplex valószínűségi változókat, hogy értelmét nem ismerik, csak azt, hogy ez a fajta számítási módszer működik. Az a mód, ahogy ráleltem ezekre a számokra, az valami egészen újszerű megvilágításba helyezi a komplex számokat is, és minden olyan fizikai jelenséget, amelyek leírásánál kételemű számot használunk, például a tér és az idő viszonya fantasztikus megvilágításba kerül. Erről egy másik cikkben írok.

2011. november 01., kedd 23:27

A változásokról és az evolúcióról*

Tartalom: Pusztítva teremtés, a bonyolultság növekedése, információváltozások mikro és macro szinten, az információelmélet hiányosságai, a környezet hatása, a hálózatok matematikája.

A cikk teljes szövege PDF fájlban itt található. A fájl 2011. november 20-án lett frissítve.

2011. október 30., vasárnap 16:46

Kételemű számok és a geometria

A kételemű számok alatt azokat a számokat értem, amelyek

a+bw

alakban írhatóak, ahol ’a’ és ’b’ valós számok, w-re pedig az igaz, hogy

w2=-1 vagy 0 vagy +1

és w2=1 esetén w nem azonos a valós ±1-gyel, illetve w2=0 esetén w nem azonos a valós 0-val. A szakirodalom ezeket a számokat komplex, Study-féle vagy duális, illetve hiperbolikus számok vagy perplex számoknak nevezi.

A kételemű számok alaptulajdonságainak összehasonlítása” című anyagban már írtam arról, hogy e számok összeadásának síkbeli képe vektorok összeadása, tehát a paralelogramma-szabályt követi. Írtam ugyanitt arról is, hogy az azo­nos előjelű, valós abszolút-értékű kételemű számokra felírható háromszög-egyenlőtlenségeknek érdekes az eltérése:

a./ | zl+z2| ≤ |z1|+|z2| a komplex (mondhatjuk azt is, hogy elliptikus) számoknál,

b./ | zl+z2| = |z1|+|z2| a parabolikus (más néven Study-féle vagy duális) számoknál

c./ | zl+z2| ≥ |z1|+|z2| a hiperbolikus (más néven perplex) számoknál.

A kételemű számok szorzásának geometriai képe mindig egy moz­gás: elforgatás az elliptikus, eltolás a parabolikus szá­moknál és a Lorentz-transzformáció a hiperbolikus számoknál esetenként nyújtással és tükrözéssel kombinálva, melyek maguk is a fenti három alapmozgás speciális esetei. A kételemű számok szorzá­sának e tulajdonsága alapján forgatásnak fogom nevezni az eltolást és a Lorentz-transzformációt is: parabolikus illetve hiperbolikus forgatásnak. A klasszikus forgatást pedig megkülönböztetésül ellip­tikus forgatásnak hívom majd.

Hangsúlyozni kell még egy fontos tulajdonságát ezeknek a számoknak, melyet majd a különböző geometriák modellezésénél fogok felhasznál­ni.

A komplex számok köréből ismert összefüggés, valamint „A kételemű számok alap­tulaj­don­sá­gainak összehasonlítása” című anyagban leírtak szerint:

sin yi = i sinh y

sin yj = yj

sin yk = k sin y

Érdemes a geometriák részletes tárgyalása előtt már itt kitérni ar­ra, hogyha egy gömb görbülete tiszta i-, j-, illetve k-szám, tehát, ha a gömb görbületét ρ-val jelölöm, akkor a görbületekre:

a./ ρ=Ri

b./ ρ=Rj

c./ ρ=Rk

ahol R tetszőleges valós szám, akkor a gömbi trigonometriák képletei a hiperbolikus,az euklideszi, illetve az elliptikus sík - azaz a klasszikus gömbi - trigonomet­ria képleteivel egyeznek meg.

Ugyanis ezeken a gömbökön egy r suga­rú kör kerületét g-vel jelölve a következőket kapom:

a./ Ha ρ=Ri

akkor g=2πρ/i sin ir/ρ = 2πρ sinh r/ρ

b./ Ha ρ=Rj

akkor g=2πρ/j sin jr/ρ = 2πr

c./ Ha ρ=Rk

akkor g=2πρ/k sin kr/ρ = 2πρ sin r/ρ

Felhasználva azt az abszolút tételt, hogy bármely egyenesvonalú há­romszögben az oldalakkal egyenlő sugarú körök kerületei úgy arány­lanak egymáshoz, mint a velük szemközti szögek szinuszai a fenti összefüggések valóban a hiperbolikus, az euklideszi, és gömbi felület trigonometriájához vezetnek.

Megjegyzem,hogy a Bolyai-geometriát formálisan egy komplex sugarú gömbön modellezték eddig, itt pedig komplex görbületű gömböt használtam az analógiára. Az elliptikus és a hiperbolikus esetben ez formálisan mindegy.

Termé­szetesen ez egyelőre csak formai érdekesség, hiszen például a b./ esetben az R sugár mint kételemű szám nem értelmezhető, a többi eset­ben pedig a sugár, mint szám értelmes, de mint geometriai fogalom még nem jelent semmit. A későbbiekben a kételemű számok és a végtelen kapcsolatának tükrében pontos értelmet nyernek ezek a fo­galmak.

15. oldal / 15