A kételemű számok alatt azokat a számokat értem, amelyek
a+bw
alakban írhatóak, ahol ’a’ és ’b’ valós számok, w-re pedig az igaz, hogy
w2=-1 vagy 0 vagy +1
és w2=1 esetén w nem azonos a valós ±1-gyel, illetve w2=0 esetén w nem azonos a valós 0-val. A szakirodalom ezeket a számokat komplex, Study-féle vagy duális, illetve hiperbolikus számok vagy perplex számoknak nevezi.
„A kételemű számok alaptulajdonságainak összehasonlítása” című anyagban már írtam arról, hogy e számok összeadásának síkbeli képe vektorok összeadása, tehát a paralelogramma-szabályt követi. Írtam ugyanitt arról is, hogy az azonos előjelű, valós abszolút-értékű kételemű számokra felírható háromszög-egyenlőtlenségeknek érdekes az eltérése:
a./ | zl+z2| ≤ |z1|+|z2| a komplex (mondhatjuk azt is, hogy elliptikus) számoknál,
b./ | zl+z2| = |z1|+|z2| a parabolikus (más néven Study-féle vagy duális) számoknál
c./ | zl+z2| ≥ |z1|+|z2| a hiperbolikus (más néven perplex) számoknál.
A kételemű számok szorzásának geometriai képe mindig egy mozgás: elforgatás az elliptikus, eltolás a parabolikus számoknál és a Lorentz-transzformáció a hiperbolikus számoknál esetenként nyújtással és tükrözéssel kombinálva, melyek maguk is a fenti három alapmozgás speciális esetei. A kételemű számok szorzásának e tulajdonsága alapján forgatásnak fogom nevezni az eltolást és a Lorentz-transzformációt is: parabolikus illetve hiperbolikus forgatásnak. A klasszikus forgatást pedig megkülönböztetésül elliptikus forgatásnak hívom majd.
Hangsúlyozni kell még egy fontos tulajdonságát ezeknek a számoknak, melyet majd a különböző geometriák modellezésénél fogok felhasználni.
A komplex számok köréből ismert összefüggés, valamint „A kételemű számok alaptulajdonságainak összehasonlítása” című anyagban leírtak szerint:
sin yi = i sinh y
sin yj = yj
sin yk = k sin y
Érdemes a geometriák részletes tárgyalása előtt már itt kitérni arra, hogyha egy gömb görbülete tiszta i-, j-, illetve k-szám, tehát, ha a gömb görbületét ρ-val jelölöm, akkor a görbületekre:
a./ ρ=Ri
b./ ρ=Rj
c./ ρ=Rk
ahol R tetszőleges valós szám, akkor a gömbi trigonometriák képletei a hiperbolikus,az euklideszi, illetve az elliptikus sík - azaz a klasszikus gömbi - trigonometria képleteivel egyeznek meg.
Ugyanis ezeken a gömbökön egy r sugarú kör kerületét g-vel jelölve a következőket kapom:
a./ Ha ρ=Ri
akkor g=2πρ/i sin ir/ρ = 2πρ sinh r/ρ
b./ Ha ρ=Rj
akkor g=2πρ/j sin jr/ρ = 2πr
c./ Ha ρ=Rk
akkor g=2πρ/k sin kr/ρ = 2πρ sin r/ρ
Felhasználva azt az abszolút tételt, hogy bármely egyenesvonalú háromszögben az oldalakkal egyenlő sugarú körök kerületei úgy aránylanak egymáshoz, mint a velük szemközti szögek szinuszai a fenti összefüggések valóban a hiperbolikus, az euklideszi, és gömbi felület trigonometriájához vezetnek.
Megjegyzem,hogy a Bolyai-geometriát formálisan egy komplex sugarú gömbön modellezték eddig, itt pedig komplex görbületű gömböt használtam az analógiára. Az elliptikus és a hiperbolikus esetben ez formálisan mindegy.
Természetesen ez egyelőre csak formai érdekesség, hiszen például a b./ esetben az R sugár mint kételemű szám nem értelmezhető, a többi esetben pedig a sugár, mint szám értelmes, de mint geometriai fogalom még nem jelent semmit. A későbbiekben a kételemű számok és a végtelen kapcsolatának tükrében pontos értelmet nyernek ezek a fogalmak.