2011 (7)

2011. december 11., vasárnap 19:56

A matematikai folytonosságról

Írta:
Nagyon tanulságos, ahogy Poincaré megkülönbözteti a matematikai és fizikai folytonosságot[1], de még érdekesebb az, amint a folytonosságot szemléli. A matematikai folytonosság különböző rendjeinek fogalmát vezeti be; elsőrendű folytonosság az, amelyet a racionális számok számegyeneshez való hozzáadása biztosít, és másodrendű folytonosság az, amely akkor jelenik, meg, ha az irracionális számok is megjelennek a számegyenesen[2]. Ezek után Poincaré ír az infinitezimálisok különböző rendjeiről is, de itt már hiányérzetem támadt.[3] Poincaré nem ad arra receptet, milyenek lehetnének azok az első- másod- és harmadrendű kicsinyek. Poincarénak a folytonosság kiteljesedését leíró rend-fogalmai még érthetőek, de a parányokra alkalmazott hasonló fogalom már kevésbé. A kételemű számok intenzív végtelen értelmezésénél – lásd Problémák Cantor diagonális módszerének használatában című írás utolsó bekezdését – megjelennek ezek a Poincaré-féle új infinitezimálisok.…
Egy idézettel kezdem, mert én sem tudnám jobban megfogalmazni cikk-indító gondolataimat. Az idézet a 60-as évek elejéről való, de aktualitását máig nem veszítette el. „…az egész modern matematika lényegileg az intenzív aktuális végtelenség fogalmára (vagy eszméjére) támaszkodik. A halmazelmélet segítségével sokkal kisebb mértékben fejlődött az extenzív végtelenség eszméje. Cantor elődje, Bolzano akinek a nézetei nagy hatással voltak a halmazelmélet formálódására, igyekezett megoldást találni a végtelen mennyiség (extenzív végtelenség) problémájára. Mindamellett a halmazelmélet az intenzív végtelenség rendkívül gazdag elméleteként formálódott, míg az extenzív végtelen fogalma lényegében idegen maradt számára.”1 Cantor végtelenség fogalma az extenzív végtelenről szól, de ő nem kötötte össze e fogalmat az intenzív végtelennel. Nincs kapcsolat a végtelen nagy, és a végtelenül kicsi között, pedig van egy művelet: a…
2011. november 06., vasárnap 15:58

A kételemű számok és a végtelen

Írta:
  Említettem a „Kételemű számok és a geometria” című rövid kis írásomban, hogy a kételemű számok szoros kapcsolatban áll a végtelennel. Most hozzáteszem, hogy a kiválasztási axióma különböző (független) megfogalmazásaiban, tehát a különböző matematikák leírásában is meghatározó szerepet játszanak. Cantor olyan végtelen számokat definiált, melyek a megszámlálhatóan sok természetes számokon túl helyezkednek el, transzfinit számok. A negatív számok gépi ábrázolása adta az ötletet, hogy bizonyos végtelen nagy számokat a valós tört számok helyiértékes számábrázolásához hasonlóan írjam fel, például egy speciális végtelen szám a következő helyiértékes alakban írható fel: …999 A  …999 szám1 esetében tehát megszámlálhatóan sok 9 szerepel az egész számok ábrázolására használt helyiértékeken a 10-es számrendszerben. Láthatóan semmi mást nem csináltam, mint a valós törtek helyiértékes ábrázolásánál. Mit tudunk…
2011. november 03., csütörtök 11:27

Kapcsolatom a kételemű számokkal

Írta:
A kételemű számokat a 70-es évek második felében fedeztem fel magamnak. Ekkor még nehéz volt információt szereznem, mert nem volt internet. Az egyetemen beszéltem róla, és kaptam egy anyagot a Cayley és a Clifford számokról. A kételemű számok azonban olyan egyszerűek, és nagyszerűek voltak, mint a komplex számok.  Egyébként az egyikük épp a komplex szám-rendszer volt, másikukat hiperbolikus számoknak neveztem, mivel szorzatuk geometriája a Lorentz transzformációt, azaz a hiperbolikus forgatást adta, a harmadik, legegyszerűbb formájuk - melyeket parabolikusnak neveztem - szorzatban egy egyenes menti eltolást adott, tehát egy speciális parabola menti mozgást. Így a háromféle szám-síkon a térbeli mozgások három lényeges formáját kaptam meg a számok összeszorzása során: eltolást, forgatást, és hiperbolikus forgatást, azaz a Lorentz transzformációt. Ráadásul ezek a…
2011. október 30., vasárnap 16:46

Kételemű számok és a geometria

Írta:
A kételemű számok alatt azokat a számokat értem, amelyek a+bw alakban írhatóak, ahol ’a’ és ’b’ valós számok, w-re pedig az igaz, hogy w2=-1 vagy 0 vagy +1 és w2=1 esetén w nem azonos a valós ±1-gyel, illetve w2=0 esetén w nem azonos a valós 0-val. A szakirodalom ezeket a számokat komplex, Study-féle vagy duális, illetve hiperbolikus számok vagy perplex számoknak nevezi. „A kételemű számok alaptulajdonságainak összehasonlítása” című anyagban már írtam arról, hogy e számok összeadásának síkbeli képe vektorok összeadása, tehát a paralelogramma-szabályt követi. Írtam ugyanitt arról is, hogy az azo­nos előjelű, valós abszolút-értékű kételemű számokra felírható háromszög-egyenlőtlenségeknek érdekes az eltérése: a./ | zl+z2| ≤ |z1|+|z2| a komplex (mondhatjuk azt is, hogy elliptikus) számoknál, b./ | zl+z2| = |z1|+|z2| a parabolikus…
Tartalom: A kételemű számok három alapvető rendszere tulajdonságainak összehasonlítása; a komplex, a hiperbolikus és a parabolikus (más néven Study-féle) számok rendszerében az alapműveletek aritmetikája és geometriája, ezek összehasonlítása, általános exponenciális alak bevezetése, szögfüggvények és hiperbolikus függvények értelmezése ezeken a számrendszereken. (Egyéb szakirodalom: Catoni és szerzőtársai, további cikkeik az interneten például: http://arxiv.org) *A teljes szöveg PDF fájlban itt található, 2014. december 3-án javított változat.
2011. október 19., szerda 08:28

Idézetek a matematikáról

Írta:
"Gyakran tapasztaltam, ha valaki megpróbált valamit elmagyarázni nekem a matematikából, hogy bármilyen figyelmesen hallgatom, majdnem teljesen elvesztem a szavak közötti logikai kapcsolatokat. Azonban agyamban kialakult egy megsejtett kép azokról a gondolatokról, amelyekről meggyőzni próbált - teljesen a magam értelmezésében, látszólag nagyon kevés kapcsolattal ahhoz a szellemi képhez, amely kollégám saját felfogásának alapját képezte - és válaszoltam. Meglepetésemre megjegyzéseimet általában mint odaillőket fogadták, és a beszélgetés ezen a módon zajlott. A végére nyilvánvaló volt, valódi, pozitív kommunikáció folyt. Azonban a tényleges mondatokat, amelyet egyikünk vagy másikunk mondott, csak nagyon ritkán értette meg a másik." (Roger Penrose, A császár új elméje) "Miután megalkották az analitikus geometriát és az algebrai függvények elméletét, Newton és Leib­niz kifejlesztette a differenciál-integrálszámítást, a matematika nem függő jelrendszer,…