Miért hiba az, ha euklideszi környezettel számolunk a hiperbolikus számsíkon?

A szakirodalomban sok esetben euklideszi környezettel és mértékkel vezetik be a deriválást a hiperbolikus számsíkon. Egy, a hiperbolikus kalkulusról szóló cikk¹ alapján tudom bemutatni az ezzel kapcsolatos problémákat.

A cikk 4. oldalán fogalmazza meg a szerző a hiperbolikus függvényeken bevezethető differenciálás alapötletét. A komplex számoknál holomorf függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, melyeknek létezik komplex deriváltjuk. A holomorf függvények lokálisan lineárisnak tekinthetők, azaz lineáris függvénnyel közelíthetők egy pont kis környezetében. A szerző ennek analógiájára a hiperbolikus síkon is értelmez holomorf függvényeket, melyek lineárisan közelíthetőek a hiperbolikus szorzás értelmében, majd néhány bekezdéssel később a következőt írja:

“Now we turn to the hyperbolic numbers, P= M². We employ in M² the topological structure of R², this could be seen as contradictory and is criticized (see [9]²). But it is the convention adopted in all the literature (see [10,11] for example) and we assume here this simplified point of view (leaving the suggestion made in [9] for a posterior work). This means that, despite of the Lorentzian structure of M² we will be using the concept of neighborhood and making limits as if we were in R².”³

A teljes szöveg PDF fájlban itt található, 2014. július 24-én javított verzió.