2014 (7)

A Lorentz transzformáció leírása skalárszorzattal és ferde skaláris szorzattal 1. Előzmények Korábbi kis cikkemben1 írtam arról, hogy mindhárom számsíkon azonos módon definiálható egy szimplektikus forma az ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = x1y2 – x2y1                                     (1) leképezéssel, és ennek a leképezésnek a számok koordinátáira átírt formája is azonos a három számsíkon. Ez akkor egyenlő 0-val, ha x1y2=x2y1 azaz y1/x1=y2/x2, tehát ha a két számvektor egy egyenesre illeszkedik. Másképpen megfogalmazva ez a ferde skaláris szorzat akkor 0, ha az egyik vektor a másik vektor számszorosa. (Ennek speciális esete, ha a két számvektor megegyezik.) A három számsíkon a skaláris szorzat definíciója azonos módon indul: <z1,z2> = Re(z̄1z2)…
Skalárszorzat és ferde-skaláris szorzat1 a kételemű számsíkokon Azért tartom „természetesnek” a szimplektikus forma2 speciális meghatározását a kételemű számok síkján, mert ezeken a számsíkokon a számok szorzata szinte sugallja a skaláris és a ferde-skaláris szorzat definícióját. _____________________________________________ 1 Egy nem-elfajuló antiszimmetrikus bilineáris 2-formát értünk ferde-skaláris szorzat alatt. 2 Szimplektikus formának nevezünk egy antiszimmetrikus bilineáris formát.   A teljes szöveg PDF fájlban itt található, mely utoljára 2017. július 25-én javított verzió.
2014. július 21., hétfő 21:18

Hiperbolikus kalkulus I.

Írta:
Miért hiba az, ha euklideszi környezettel számolunk a hiperbolikus számsíkon? A szakirodalomban sok esetben euklideszi környezettel és mértékkel vezetik be a deriválást a hiperbolikus számsíkon. Egy, a hiperbolikus kalkulusról szóló cikk1 alapján tudom bemutatni az ezzel kapcsolatos problémákat. A cikk 4. oldalán fogalmazza meg a szerző a hiperbolikus függvényeken bevezethető differenciálás alapötletét. A komplex számoknál holomorf függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, melyeknek létezik komplex deriváltjuk. A holomorf függvények lokálisan lineárisnak tekinthetők, azaz lineáris függvénnyel közelíthetők egy pont kis környezetében. A szerző ennek analógiájára a hiperbolikus síkon is értelmez holomorf függvényeket, melyek lineárisan közelíthetőek a hiperbolikus szorzás értelmében, majd néhány bekezdéssel később a következőt írja: “Now we turn to the hyperbolic numbers, P= M2. We employ in M2 the topological structure…
2014. június 29., vasárnap 20:11

A dimenziókról

Írta:
A téridő 3+1 dimenziója és a kételemű számok A hiperbolikus számsík, mint téridő modell nagyon szemléletes, ha a térnek csak az egyik dimenzióját használjuk. Az embernek azonban hiányérzete támad, hiszen a teret mi háromdimenziósnak érzékeljük. Felmerül tehát az igény olyan – esetlegesen többelemű – számokra, amelyek korrektül modellezik a négydimenziós téridőt. Egyelőre elég távolinak látom a számfogalmunk olyan általánosítását1, melynek részei – feltehetően alapelemei – a kételemű számok. E számfogalom kialakítása céljából most a dimenziókkal kapcsolatos fogalmainkat szeretném végig gondolni. 1. Mi a dimenzió? A szó eredeti jelentése alapján valamiféle méretet, kiterjedést értünk alatta. Van valamilyen ősi és elemi tapasztalatunk a tér háromirányú kiterjedéséről: előre-hátra, balra-jobbra és föl-le, ahogy a hétköznapi életben megkülönböztetjük a térbeli mozgás lehetőségeit. E lehetőségek közvetlen…
2014. április 21., hétfő 18:08

Az új végtelenről

Írta:
„Új törvényekkel, túl a szűk egen, új végtelent nyitottam én eszemnek” (Babits Mihály, Bolyai) Érdekes, hogy amíg a matematika a végtelen fogalmának kezelésére oly sok megoldást kínál, ugyanakkor a valós környezetünk érzékelése, mérése csak véges mennyiségeket igényel. Nagyon szemléletesen mutatja be Poincaré ezt a különbséget a matematikai és a fizikai folytonossággal kapcsolatban: „Megfigyelték például, hogy valamely 10 gramm súlyú A test és valamely 11 gramm súlyú B test egészen azonos érzeteket kelt. Hasonlóképpen nem lehetett megkülönböztetni a B testet a 12 gramm súlyú C testtől, de az A és a C súlyának egymástól való megkülönböztetése már sikerült. E kísérlet nyers adatai tehát a következő vonatkozásokkal tűntethetők fel: A = B; B = C; A < C. Ezek a vonatkozások a…
2014. január 20., hétfő 16:14

A matematika és az idő

Írta:
Mindig túlzott idealizációnak tartottam, hogy a matematika az egyes műveletek elvégzésénél nem foglalkozik a műveletek időigényével. Ez leginkább a végtelen számú lépésben meghatározható mennyiségeknél tűnik gondatlanságnak. A számítógépek megjelenésével, a műveletek tár- és időigényének problémája is előtérbe került.1 A bonyolultságelmélet üdítő kivételével az elméleti matematika alapjaiban természetesnek tartja az „időtlen” műveleteket. Ennek eklatáns példája a kiválasztási axióma (AC), mely – hétköznapi nyelven megfogalmazva – deklarálja, hogy végtelen elemszámú halmaz mindegyikéből kiválasztható egyetlen szempillantás alatt egy-egy elem.2 Ennek az axiómának a fizikai tapasztalatunktól eltérő, „varázslatos” jellege leginkább azokban a példákban érhető tetten, amelyekkel szemléltetni próbálták az axiómát. A legismertebb ezek közül Hilbert Grand Hotel paradoxonja3, amely szerint egy végtelen sok szobából álló, vendégekkel teli szállodában, akár végtelen sok új vendéget is…
Régóta izgat a kiválasztási axióma és a kontinuum hipotézis kapcsolata. 1900-ban David Hilbert az általa felvetett fontos matematikai problémák között elsőként említette a kontinuumhipotézist. A megoldást Kurt Gödel és Paul Cohen adta a XX. század közepe táján, a bizonyításokat Cohen koronázta meg, amikor 1963-ban a forszolás új módszerét vezette be a bizonyításában.1 Gödel és Cohen bizonyításai alapján tudjuk, hogy kontinuum hipotézis konzisztens és független, azaz az állításnak sem a ZF-hez való hozzátétele sem az állítás tagadásának hozzáadása nem okoz ellentmondást. Ugyanez igaz a kiválasztási axiómára is. A következők ismertek a kiválasztási axióma és a kontinnum hipotézis kapcsolatáról: ZF+GCH |= AC2                                        …