Kivonat

Egy korábbi cikkemben¹ írtam már arról, hogyha a kételemű számokat végtelen távoli pontokkal kiegészített számegyenesként értelmezem, akkor homogén koordinátákat definiálva ezeken a számegyeneseken; a kételemű számok síkjához juthatunk. Abban a cikkben csak a parabolikus számsík modelljét említettem, mert ez hozható összefüggésbe a klasszikus projektív geometriával, hiszen ez az a modell, amelynek képzetes eleme úgy tekinthető, hogy egyetlen végtelen távoli elemet illesztettünk a számegyenes tetszőlegesen nagy számai után. Érdemes végiggondolni a komplex és a hiperbolikus számsík számegyenesként való értelmezését is.
A projektív geometria szóhasználatát követve a (szám)egyenes végtelen távoli pontjait ideális pontoknak is fogom nevezni.
A homogén koordinátákra való áttéréssel mindhárom számsíkot olyan számegyenesként értelmezhetjük, melyek tartalmazzák a végtelen nagy, azaz ideális számpontokat is a parabolikus és a hiperbolikus esetben. A projektív geometriák ezzel még nem épülnek fel, ez csak az első lépés: három – lényegesen eltérő – módon definiálunk (szám)egyeneseket.

Tartalom

1. Előzmény
2. Homogén koordináták és a számegyenesek
3. Parabolikus (szám)egyenes
4. Hiperbolikus (szám)egyenes
5. Komplex, vagy elliptikus (szám)egyenes
6. Összegzés

___________________________________________

¹ Lásd. „A dimenziókról” szóló cikk 7. oldalán „A kételemű számok és a projektív geometria” című szakaszt.

A teljes szöveg PDF fájlban itt található, 2018. augusztus 30-án javított verzió.