A bivektor és a paralelogrammák ekvivalenciája a három számsíkon
Előzmények
Emlékeztetőül felsorolok néhány eddig bevezetett fogalmat. Korábbi kis cikkemben1 írtam arról, hogy mindhárom számsíkon azonos módon definiálható egy szimplektikus forma az
ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = x1y2 – x2y1
leképezéssel, ahol a felülvonás a szám konjugáltját jelzi, Im pedig a mögötte álló képzetes részét. Ennek a leképezésnek a számok koordinátáira átírt formája azonos a három számsíkon, és akkor egyenlő 0-val, ha x1y2=x2y1 azaz y1/x1=y2/x2, tehát ha a két számvektor egy egyenesre illeszkedik. Másképpen megfogalmazva ez a ferde skaláris szorzat akkor 0, ha az egyik vektor a másik vektor számszorosa.
Bevezettem egy szorzatfüggvényt is a kételemű számok mindegyikére a következő alakban:
Π(z1,z2) = z̄1z2 = ˂z1,z2> + δ ω(z1,z2) ahol δ = i, j, k és i2=-1, j2=0, k2=1
A fenti egyenletben <z1,z2> a z1 és z2 számok skalárszorzata, melyek definíciója koordináta szinten különbözik attól függően, hogy komplex, parabolikus, vagy hiperbolikus számsíkról2 van szó. Az ω(z1,z2) pedig a z1 és z2 számok fent említett ferde-skaláris szorzata, mely mindhárom számsíkon azonos módon definiált a számvektorok koordinátáit tekintve, de geometriai alakjukban eltérnek. Emlékeztetőül a definíciók:
Skaláris szorzat:
Hiperbolikus eset:
˂z1,z2> = Re (z̄1z2) = |z̄1| |z2| cosh (τ2-τ1) = x1x2 – y1y2
Parabolikus eset:
˂z1,z2> = Re (z̄1z2) = |z̄1||z2| = x1x2
Komplex eset:
˂z1,z2> = Re (z̄1z2) = |z̄1||z2| cos (φ2-φ1) = x1x2 + y1y2
Ferde-skaláris szorzat:
Hiperbolikus eset:
ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = |z̄1||z2| sinh (τ2-τ1) =x1y2 – x2y1
Parabolikus eset3:
ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = |z̄1||z2| sp∆a =x1y2 – x2y1
Komplex számsíkon:
ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = |z̄1||z2| sin (φ2-φ1) =x1y2 – x2y1
____________________________________
1 Lásd: a «A szimplektikus teve „természetes előfordulásai”» című cikket
2 Lásd a számsíkok összehasonlító táblázatát.
3 Az sp függvény a parabolikus – vagy másképp duális – számokon értelmezett függvény, melyre „sp arg(z) = y/x” ahol „arg z = y/x” ha z=x+jy és j2=0.
A teljes szöveg PDF fájlban itt található.
