Nem csak az újév, de a karácsonyi ünnepek is alkalmasak a számvetésre. Ilyenkor azonban sokkal inkább érzelmi életünk kerül megítélésre. Karácsony apropóján gondolataink és kérdéseink a szeretet és a boldogság körül forognak. Szoros kapcsolat van e két fogalom között, de nem szabad sem összetéveszteni, sem ok-okozati összefüggésbe hozni a kettőt. A boldogság valóban a szeretetből származik leggyakrabban, de a boldogtalanság oka sok más is lehet. Nem helyes az emberi boldogság okát kizárólag a szeretetből eredeztetni, mert ez tévútra vezet, ilyenkor ugyanis a boldogság hiányát hibásan a szeretet hiányának gondolják az emberek. A legfontosabb különbség az közöttük, hogy míg a szeretetnek tárgya van, addig a boldogság egy olyan állapotot fejez ki, amiben jól érezzük magunkat. Így a boldogságnak nincs tárgya, irányultsága, csak jelene van, illetve jelenbeli, és múlt-, illetve jövőbeli¹ okai.

Sokan, sokféleképpen fogalmazták meg a boldogság mibenlétét. Saját megítélésemen kívül a teljesség igénye nélkül csak néhány külső forrásra fogok majd hivatkozni.

Számomra a boldogság nem egy felfokozott pozitív érzelmi állapot, nem lángolás, nem örömmámor, hanem valamiféle melegség érzése, nyugalom, és derű, egyfajta bölcs megértés állapota, ami a fájdalmas órákat és az igazán rossz időket is elviselhetőbbé teszi.

A boldogságot öncélúan kereső emberek felismerik ugyan, hogy boldogságuk másoktól is függ, de ebből nem azt a következtetést vonják le, hogy jó kapcsolatokra kell törekedni másokkal, hanem kizárólag elvárásként, sőt követelésként jelenítik meg a boldogság-igényüket. Ez a viselkedés, azonban öngól, vagy egy francia mondást idézve: „ez több mint bűn, ez hiba”. Saját boldogságunk ugyanis úgy függ másoktól, hogy azok boldogsága növelheti a miénket, boldogtalansága pedig csökkentheti. Még a legönzőbb ember – ha nincs is tudatában – nem tudja kivonni magát mások érzelmeinek hatása alól. Empátiával mindenki rendelkezik kisebb nagyobb mértékben. Ezzel kapcsolatban már szavakba öntöttem „A jóról és a rosszról”² című kis írásomban, hogy a mások iránti érzékenység – az empátia – tudáshoz vezet. Azt gondolhatnánk, hogy az együtt érző embernek nem lehet nagyobb a boldogsága az érzéketlennél, hiszen aligha lehetséges, hogy környezetében ne lenne valakinek valami bánata, és ezt ő is átérzi. Hogy ez még sincs így, pontosabban hogy a tudás – így az empátia is – növeli a boldogságot; ezzel kapcsolatban érdekes cikket³ olvastam 2010-ben az Élet és Tudomány lélektani írásai között.

„Több lélektani kísérlet is kimutatta, hogy ha az ember valami jót, valami kedves dolgot cselekszik másokkal, akkor utána boldogabbnak fogja érezni magát.”

Ezt írta a cikkben Mannhardt András. A mesebeli „jótett helyébe jót várj” igazságában vetett hiten kívül a fenti megállapításban annak igazolását látom, hogy valóban működik az emberekben az empátia, és másokat boldogabbá téve, ez a boldogság visszahat rájuk.

Itt még nincs vége a cikk érdekességének. A kutatók bizonyos jelekből arra következtettek, hogy nem csak a tettek pozitív tartalma számít, de újdonság jellege is. További tesztek valóban igazolták, hogy „mind a jótetteket, mind a szokatlan dolgokat véghezvivő személyek boldogságérzete lényegesen javult”⁴. A jótettet már összekapcsoltam a tudás növekedésével – ami mások boldogságának megérzéséből következik –, de könnyű megtenni azt a lépést is, ami az újdonságkeresést a tudásnövekedéssel köti össze. Hiszen az újdonságkeresés nem más, mint információszerzés, azaz tudásunk gyarapítása. Ezek szerint nincs igaza a költőnek, amikor azt írta, hogy

„Tudom, hogy sokkal boldogabb,
ha együgyűbb lehetnék.”⁵

Épp ellenkezőleg, pszichológiai tesztek igazolják, hogy a tudás növekedése növeli a boldogságot. Ezzel kapcsolatban óhatatlanul eszébe jut az embernek, hogy a tudás növekedése evolúciós előnyt is jelent, ez pedig azoknál „működik” jobban, akik élvezik is a tudásuk növekedését, tehát akiket boldogabbá tesz a tanulás. A következtetések levonásával ismét csak Mannhardt Andrást tudom idézni, aki a pszichológiai tesztekre utalva azt írta:

„Vagyis ez nem az a fajta kísérlet, amelyhez a tévéműsorokban mindig hozzáteszik: ki ne próbálja otthon! Igenis, próbáljuk csak ki, minél többen; minél gyakrabban, és pszichológiai tesztek nélkül is bízvást érzékelni fogjuk majd az eredményt.”⁶

Személyes tapasztalataim alapján magam is igazolni tudom a fentieket.

____________________________________________________

¹ A jövőbeli ok alatt azt a boldogságot okozó reményt értem, ami egy jövőbeli várt és vágyott eseményhez kapcsolódik. Ilyen értelemben beszél boldog emberekről Jézus a hegyi beszédben (Máté, 5.3-10.) Lásd az egyik mellékelt kép kiemelt szövegét.

² http://www.infinitemath.hu/index.php/filozofia/item/35-a-j%C3%B3r%C3%B3l-%C3%A9s-a-rosszr%C3%B3l.html

³ Mannhardt András, Boldogságkúra, Élet és Tudomány, 2010/42. Lásd az egyik mellékelt képbeli cikket.

⁴ Id. cikk

⁵ Lator László, Add nékem gyöngeségedet

⁶ Mannhardt András, id. cikk

Garret Sobczyk, New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of Number¹

Izgalommal várom a fenti könyvet, melyet megrendeltem a Prospero Internetes Könyváruházon² keresztül. Azért várom a könyvet, mert az általam is felfedezett kételemű számok közül kettőt részletesen tárgyal. Nagyon kíváncsi vagyok, hogy a szerző miként kapcsolja a számok analitikáját a matematika meglévő elemeihez. Leginkább a 17. fejezetre vagyok kíváncsi, mert jelenleg azzal foglalkozom.

A könyv tartalomjegyzéke a következő:

Content
Chapter 1 Modular Number Systems 1
Chapter 2 Complex and Hyperbolic Numbers 23
Chapter 3 Geometric Algebra 43
Chapter 4 Vector Spaces and Matrices 67
Chapter 5 Outer Product and Determinants 84
Chapter 6 Systems of Linear Equations 95
Chapter 7 Linear Transformations on Rⁿ 106
Chapter 8 Structure of a Linear Operator 117
Chapter 9 Linear and Bilinear Forms 137
Chapter 10 Hermitian Inner Product Spaces 153
Chapter 11 Geometry of Moving Planes 180
Chapter 12 Representation of the Symmetric Group 201
Chapter 13 Calculus on mSurfaces 223
Chapter 14 Differential Geometry of Curves 242
Chapter 15 Differential Geometry of kSurfaces 253
Chapter 16 Mappings Between Surfaces 275
Chapter 17 Noneuclidean and Projective Geometries 296
Chapter 18 Lie Groups and Lie Algebras 329
References 352
Symbols 357
Index 363
Copyright

A tartalomjegyzék alapján azt remélem, hogy sok megoldást készen kapok majd, így arra fókuszálhatok, amit eddig másoknál nem találtam meg; mégpedig annak az ötletnek a következményeivel foglalkozhatom, ami engem elvezetett a kételemű számokhoz, azaz a végtelenek nem-Cantor-i ábrázolásával. A nem-Cantori végtelen alatt azt értem, hogy a kételemű számok nem Cantor transzfinitjeinek egyikét jelölik, hanem az e transzfiniteknél kisebb, de minden természetes számnál nagyobb végtelen számot, vagy annak hiányát.

___________________________________________________

¹ http://www.amazon.com/New-Foundations-Mathematics-Geometric-Concept/dp/0817683844

² http://www.prospero.hu/katalogus/konyvek/?id=4750690&vissza_link=%2Fkatalogus%2Fszokereso%2F%3Fid%3D%26vissza_id%3D%26order%3Deler%26szerzo%3D%26cim%3D%26ar_tol%3D%26ar_ig%3D%26datum_tol%3D%26datum_ig%3D%26kiado%3D%26kotestipus%3D%26keszleten%3D%26%26utoljara%3Dnem

A Prospero által kínált karácsonyi, azaz 40%-os kedvezményen jutok majd a könyvhöz.

Leszek Kołakowski, Mit kérdeznek tőlünk a nagy filozófusok¹

Végre! Ennek az előadás-gyűjteménynek az angol fordítását² már évekkel ezelőtt olvastam, és nagyon tetszett. Pontosabban az angol fordítás csak válogatás Kołakowski filozófusokról szóló előadássorozatából. A harminc előadásból huszonhetet válogattak ki.³ Most a magyar fordítás a teljes lengyel anyagból készült a Typotex Kiadó gondozásában. Alig vártam, hogy elolvassam a kimaradtakat, mert nagyon kíváncsi voltam, miért is hagyhatták ki az angol fordításból Arisztotelészt és Heideggert. Az angol kiadáshoz írt megjegyzés nem ad magyarázatot erre, csak annyit ír, hogy „ilyen-olyan okokból” hagytak ki a válogatásból hét filozófust, bár „saját hibájukon kívül”. Most, hogy elolvastam Kołakowski írásait Arisztotelészről, és Heideggerről – vannak ugyan ötleteim – de változatlanul nem értem, miért hagyták ki ezt a két nagyhatású filozófust.

A könyv előszava felhívja a figyelmet arra, hogy az előadások nem filozófiatörténeti gyorstalpalónak készültek. Kołakowski kiválasztott egy-két gondolatot a filozófusok tanításainak lényeges elemeiből, és ezeket járta körbe.

Csak nagyon kevés olyan íróval találkoztam olvasmányaim során, akiknek az írásaiban még azokat a részeket is élvezettel olvasom, melyekkel nem értek egészen egyet. Kołakowski is ebbe a szűk körbe tartozik. Sajnálom, hogy nem tudok lengyelül – annak ellenére sem, hogy lengyel volt az egyik nagymamám – mert így nem olvashatom Kołakowski könyveit eredetiben, és nem olvashatom el minden művét, hiszen nem minden írását fordították le angolra.

A magyar fordítással nem vagyok elégedett, bár messze jobb munka, mint amit az 1. lábjegyzetben szereplő könyv kapcsán tapasztaltam. Az egyik konkrét  példám a fordítás hiányosságaira az "ok" és "cél" fogalom gyakori felcserélése a fordításban, amellyel a fordító meghamisítja az adott mondat értelmét. A csalódottságomat fokozza, hogy magyarul az írás nem olyan frappáns, és kevésbé élvezhető, mint angolul. Nyilván nem Kołakowskiban, vagy bennem van a hiba, mert minden magyarul megjelent írását olvastam, és azoknál nem volt ilyen érzésem. Két könyvét angolul, majd magyarul is olvastam, és azoknál sem éreztem csalódottságot, így csakis a fordítás tehette egy kissé szürkébbé az előadásokat. Ennek ellenére mindenkinek ajánlani tudom ezt a könyvet; azoknak is, akiket nem érdekel különösebben a filozófia.

Utóirat

Tegnap - 2012. 12. 12-én - jártam a könyv bemutatóján az Írók Boltjában, és csalódottan távoztam. Nem csak azért voltam elégedetlen, mert bár kellően méltatták Leszek Kołakowskit, mint filozófust, és a most kiadott művét is, de a könyv bemutatásaként nem mondtak többet annál, mint amit egy előzetesben, vagy fülszövegben ne tudhatott volna meg a könyv leendő olvasója. Az is elég lehangoló volt, amint az általam igen nagyra becsült Heller Ágnes és Gábor György "összeugrott" a marxi életművet vitatva, Balibar "Marx filozófiája" című könyve kapcsán. Azért kedvetlenített el ez a vita, mert olyan szofisztikált filozófiai elemekből állt, amelyekből teljesen hiányzik napjaink természettudományainak ismerete. A szóváltás során nekem például a hálózatok matematikája, az információelmélet új eredményei, a Kapitány házaspár legutóbbi könyvében felvetett szellemi termelési mód jutott eszembe. Nagyon nehezemre esett csendben maradnom, de az élőszó, sőt általában a verbális önkifejezés nem az én műfajom.

______________________________________________

¹ Ennek a könyvnek a magyar fordítását hiányoltam a „Recenzió két filozófia könyvről” - http://www.infinitemath.hu/index.php/filozofia/item/100-recenzi%C3%B3-k%C3%A9t-filoz%C3%B3fia-k%C3%B6nyvr%C5%91l.html - című írásomban.

² Leszek Kołakowski, Why is there something rather than nothing? – 23 questions from great philosophers

³ Kimaradtak: Arisztotelész, Eckhart mester, Cusanus, Hobbes, Heidegger, Jaspers, Plótinosz

Vissza-visszatérő gondolat az emberi hittörténetben az az elképzelés, hogy volt valamikor régen egy aranykor¹, amit visszasírunk, mert azóta hanyatlásnak indult az emberiség. A „régi szép idők” mondásban is az ősi aranykor-hit rejlik.

Hamvas Bélát nagyra értékelem, de több nézetével nem értek egyet, például a témához tartozó aranykor-elképzelésével sem. Az egyik legnevesebb könyvében, a Scientia Sacra legelején foglalkozik az aranykor-eszmével. Ha hiszünk az evolúcióban – és én hiszek –, akkor az aranykor előttünk van, és nem mögöttünk. A Hamvas által hivatkozott legfontosabb források maguk is "fejlődés-pártiak" - gondolok itt a Bibliára és a Bhagavad Ghítára. Ez utóbbiban említés esik világkorokról (kalpákról), és ezek ismétlődésének leírása nagyon hasonlít az evolúciós fejlődés mennyiségi és minőségi változásainak egymás-utánjaira, és a minőségi ugrás pusztítva teremtésére. Egyébként pszichológiailag jól magyarázható ez a múltbeli aranykor-hit, és Hamvason kívül sok nagy gondolkodó tévedt erre a következtetésre. Ugyanis az emlékeink szépülnek idővel. Nem csak a személyes emlékeink, de az emberiség közös történelmi emlékeit is "fényesítik" a krónikások. Így aztán a jelen rossz tapasztalatai mellett a múlt rózsásabbnak tűnik, mert már nem emlékszünk a régmúlt hétköznapjainak nyomorúságára. Ezért van az is, hogy minden korosztály el van szörnyedve az őt követő fiatalság „bűnös” viselkedésén, és a saját fiatalságáról jobb, megszépített emlékeket őriz.

Az aranykor eszméjében ugyanazt a logikai hibát érzem, amit az „időnyíl” értelmezése okoz a fizikában.  A fizikusok szerint az entrópia-törvény – ez az időnyíl szerepének felel meg – az egyszerűsödés felé, a szimmetriák felé mozgónak írja le a rendszereket. Erről írtam a változásokról szóló anyagomban², ezért nem akarom agyonragozni: ahogy nem a múltban volt az aranykor, hanem a jövőben lesz, ugyanúgy az univerzumra nem a zárt rendszerekre vonatkozó entrópia-törvény érvényes, hanem a nyílt rendszerekre vonatkozó, ahol a változás iránya az egyre bonyolultabb³, fejlettebb rendszerek kialakulása felé mutat.

Visszatérve Hamvas Bélára, szeretnék még valamit megjegyezni. Az aranykor kapcsán a következőt írja:

„Ezek a személyiségek⁴ az aranykort valóságnak mondták, s így ezt még akkor is el kell fogadnunk, ha azóta s ma minden lényegesen kisebb ember ellene szól.”⁵

Hamvas tekintélyelvre hivatkozik az aranykor kérdését illetően, holott annak léte a tudományok segítségével dönthető el, amint fentebb már írtam az időnyíl és az aranykor létezésének összefüggésével kapcsolatban. Így Pascalt idézve az én véleményem is az, hogy

„… csak sajnálhatjuk, hogy akadnak elvakult emberek, akik a fizikában is egyes szerzők tekintélyével bizonyítanak, logikus érvelés és kísérletek helyett; és ugyanakkor elborzadunk, hogy mások logikus érveléssel keresik az igazságot a teológiában, ahelyett, hogy rábíznák magukat a Szentírás és az Atyák tekintélyére.”⁶

___________________________________________

¹ Az elképzelés a görögöktől származik (Χρυσόν Γένος), de hasonló idea található az egyiptomiaknál, és a Biblia Éden kertjének eszméjében is ez az idea köszön vissza.

² http://www.infinitemath.hu/index.php/egyeb/item/28-a-v%C3%A1ltoz%C3%A1sokr%C3%B3l-%C3%A9s-az-evol%C3%BAci%C3%B3r%C3%B3l*.html

³ A bonyolultság globális növekedéséről az a kép győzött meg véglegesen, amely igen nagy léptékben mutatja az Univerzumunkat, s benne a galaxisok bonyolult, szálas szerkezetbe rendeződését.

⁴Zarathustra, Lao-ce, Buddha, Hérakleitosz

⁵Hamvas Béla, Scientia Sacra, 24. oldal (Magvető Könyvkiadó, 1988)

⁶Pascal, A légüres térről szóló tanulmány töredéke

Szoros kapcsolatot látok a fizika néhány alapkérdése és a kontinuum-hipotézis különböző megfogalmazásai között.

Mindenek előtt a kvantumgravitációnak nevezett problémát említem. Mind a relativitás­el­mé­let­ben, mind a kvantumfizika matematikájában súlyos problémát jelent egyes mennyiségek végtelenné válása. Ennél is nagyobb nehézséget jelent a két elmélet egységes elméletté komponálása. Nem kívánom elemezni a sikeresebb és kevésbé eredményes próbálkozásokat az egyesítésre. Ehelyett inkább egy matematikai problémával hozom összefüggésbe ezeket az összevonási kísérleteket. A relativitáselmélet és a kvantumfizika látszólag¹ legeltérőbb tulajdonsága a térhez és az időhöz való viszonyulás, amely szoros kapcsolatban áll azzal, hogy az egyik az Univerzumot, a másik a mikrovilágot írja le.

A matematikában is van két fogalom – az extenzív és az intenzív végtelen – melyek fölé a matematika hatalmas épületeit emelték, és ezek is kívülről nézve egymástól független létesítmények. Cantor transzfinitjei és a korábbi századokban elkezdett infinitezimális² számítási módszerek nincsenek igazán harmonizálva. Ez a helyzet nagyon hasonló a fizika össze nem hangolt – fent említett – két elméletéhez, melyek lényegi eltérése a leírt világuk kiterjedésbeli különbsége.

Mindkét probléma megoldására fogódzót jelenthetnek a kételemű számok, hiszen ezek egyike; a hiperbolikus számsík a speciális relativitáselméletbeli téridő geometriájának topológiáját ábrázolja nagyon szemléletesen. A kvantumfizikában pedig a komplex számoknak meghatározó a szerepük a valószínűségi amplitúdók leírásánál. Ha a komplex számsíkot is a tér és az idő egyfajta topológiai modelljének tekintem, akkor – elrejtve a valószínűségi amplitúdókban – egyáltalán nem a klasszikus teret és időt kapjuk háttérként a kvantumfizikában sem. Az még válaszra vár, hogy miért a hiperbolikus számsík jelenik meg a nagy méretek modellezésénél, és miért a komplex számsík a mikrovilág leírásában. A harmonizáláshoz végig kell még gondolni, hogy a kvantumfizikában miképpen vonható össze a klasszikus tér és idő, mint háttér a valószínűségi amplitúdóban rejlő téridő topológiával.

Míg a fizikában nincs szinkronban a mikrovilág és a nagy Univerzum matematikai leírása, addig a matematika Cantor-i CH fogalmát, és annak alternatíváit az intenzív végtelenek körében is értelmezhetem³ – igaz, a végtelenek nem egészen Cantor-i felfogásában – és ezzel az extenzív és intenzív végtelenek dualitásáról beszélhetek. Feltételezem, hogy ez a dualitás a fizikai világban is létezik a makro- és mikro-világ matematikai leírásában, csak itt nehezebb ennek felismerése, mert sok, a lényeget nem érintő, de a méréseket megzavaró jelenségtől el kell majd tekinteni.

___________________________________________________

¹ Azért nevezem látszólagosnak az eltérést, mert a kvantumfizikában megtévesztő a tér és az idő klasszikus háttérként való megjelenése. A valószínűségi amplitúdóknál a komplex számok használata jelenti a klasszikustól eltérő téridő-geometria megjelenését. Ez azonban ma még nem ismert tény, mert nem köztudottak a kételemű számok, mint téridő modellek.
Még egy hasonlóságot említenék, amelyet nem igazán ismertek fel még teljes összefüggésében; ez pedig a megfigyelő szerepének hangsúlyos volta. Ez mindkét esetben azzal függ össze, hogy irdatlanul eltérő méretek világából igyekszünk információt nyerni, az egyik esetben a mikrovilágról, a másik esetben a hatalmas Univerzumról. Ez csak a kvantumfizikában jelentett eddig problémát, mert ott a mérés együtt jár a mért objektum tulajdonságainak változásával. Kevésbé feltűnően a speciális relativitáselméletben is jelen van, hiszen az egyik inerciarendszerbeli leírásból a másik inerciarendszerbeli képre való áttérés nem más, mint a megfigyelő szerepének nyomatékos volta. Természetesen ez utóbbi esetben a megfigyelő a „mérése” – azaz optikai megfigyelése – során nem módosítja lényegesen a mért jelenséget. Ezzel szemben az az elterjedt vélekedés nem igaz, hogy fénysebességet megközelítő sebesség esetén az adott rendszer tömege „valósan” a végtelenhez közelít. Ez mindössze annak a megfigyelőnek a látószögéből megfigyelhető kép-torzulás, akihez képest a rendszer fénysebesség-közeli sebességgel halad. A fénysebesség elérésekor a korábban nyugalmi tömeggel rendelkező részecske tömege nem válik végtelenné, hanem teljes egészében sugárzásként jelenhet meg a megfigyelő számára. Ha egy elektronnyi tömegre elvégezzük a számításokat, akkor azt kapjuk, hogy a gammasugárzásnak megfelelő frekvencia-tartományba eső sugárzást érzékelhetünk. A kozmikus müonok bomlási idejének példáját szokták felhozni arra, hogy nem a megfigyelő számára kialakított kép módosul, hanem a vizsgálat tárgyának „valódi” tulajdonságaiban megy végbe a változás. Ez azért hibás vélekedés, mert csak a müon  hosszúság-kontrakciójával együtt állja meg a helyét. A müon példájában csúsztatást  jelent az is, hogy itt nem inerciarendszerekről van szó, hanem gyorsuló  rendszerekről. Hasonlóan rossz példák az órák, melyek a Föld különböző  magasságaiban eltérő időt mérnek. Egyelőre nem térek ki az általános relativitáselméletre, jelen cikkben csak a speciális relativitáselméletre  hivatkozom. A lényeg az, hogy külső szemlélőként a tárgy képében tapasztalok valamit, amit a Lorentz transzformáció ír le.

² Abraham Robinson nem-standard analízisével elfogadottá – de nem elterjedtté – vált a végtelen mennyiségek kiterjesztése az intenzív végtelen felé. Ez az infinitezimálisok új koncepciója.

³ Lásd „Az idő, a tér és a végtelen” című írás 4.5 pontját; az extenzív és az intenzív végtelenek kételemű számokkal való modellezéséről szóló fejezetét.

2010-ben láttam egy kisfilmet, ahol Hawking a földönkívüli élet lehetőségeiről beszélt. Ezen a héten ismét Hawking-interjút közvetített a Discovery Science csatorna, amelynek témája az élet értelme volt. Sajnos mindkét film csalódást okozott nekem; Hawking véleménye vagy közhelyes, vagy vitára ingerlő.

Egy olyan nagy gondolkodó, mint Hawking is beleesik abba a hibába a földönkívüliekről kialakított véleményében, hogy a fejlettebb civilizációt kizárólag technikailag fejlettebbnek gondolja el. Nem bizonyítja-e sok tízezer éves történetünk, hogy morálisan is fejlődött az emberiség? Tudom, hogy a XX. századi két világháború, és az aktuális háborúskodások, valamint egész jelenlegi kultúránk alapján ez nehezen képzelhető el. Érdemes viszont Csányi Vilmos etoló­gus szavaira gondolni, amikor az állati agressziót hasonlítja össze az emberi agresszió­val, és ez az összemérés sokkal pozití­vabb képet fest az emberről. Ezek szerint a morális változások nem a néhány ezer éves írott történelmünk léptékében érzé­kel­hetők igazán, hanem sokkal nagyobb időléptékben. De épp ez a nagyobb időlépték alkal­maz­ha­tó az Univerzum­ban feltéte­le­zett idősebb civili­zá­ci­ók erkölcsi fejlettségének meg­íté­lésekor. Abban egyet­értek Hawking-gal, hogy a Tejútrendszerben található bolygórendszerek hatalmas száma, és a galaxisok még nagyobb mennyisége alapján joggal feltételezhető, hogy más világokon is kialakulhatott élet, sőt értelmes élet.¹ Ha a társada­lom­má szerveződött élet elterjedtségének eloszlása hatványfüggvény eloszlású² – és az általunk ismert fejlődő rendszerek mind ilyenek – akkor a fejletlenebb civilizációk száma sokszorosan meghaladja az öreg, hatalmas kapcsolatrendszerrel rendelkező civilizációk számát. A nálunk fiatalabb, vagy hozzánk nagyon hasonló technikai fejlettségű civilizációk esetleges kapcsolatfelvételét nehezíti, sőt egyelőre lehetetlenné is teszi űrhajózásuk, és általában a kommunikációs technikáik fejletlensége. Így sokkal inkább számít­hatunk egy – morálisan is – elképzelhetetlenül fejlettebb civilizációval való kapcsolatra, mint­sem hozzánk hasonlók felfedezésére. Egy szuper-intelligens civilizációnak a minőségileg hatalmasabb tudása és erkölcse viszont nem valószínűsíti, hogy megtámadna, vagy gyarmatosítana bennünket. A moralitásban bekövetkező minőségi változások miatt – Hawkinggal ellentétben – attól sem tartok, hogy az önmegsemmisítés szükségszerű, vagy akárcsak valószínű lenne a civilizációk fejlődése során. Így sokkal valószínűbb egy olyan kapcsolat, amely már létezik, de legfeljebb csak feltételezéseink vannak róla, tudományos, de főleg morális fejletlenségünk miatt. Erkölcsileg, empátiánkban kell fejlődnünk ahhoz, hogy ezt a kapcsolatot felfedezzük, és tudatos részese legyünk.

A Discovery Science csatorna jelenlegi műsorában megtekinthető Hawking-elmélkedés az élet értelméről szól. Már az első mondataiban tesz egy olyan kijelentést, amivel nem értek egyet: „a filozófia halott” szerinte.³ Valószínűleg eltérő módon definiáljuk a filozófia tudományát. A filozófiá­nak ma is létező – általam szofistának neve­zett, és még mindig hatalmas – ága valóban haldoklik szerintem is. Ez az a terület, amelynek a művelői belterjesen, a korábbi filozófiai elmé­letek elemzésével és to­vább gondolásával l’art pour l’art foglalkoznak a filozófiával, és a tudo­mányok egyéb területe­iről csak lassan szűrőd­nek el hozzájuk az infor­mációk. Én nem ezt tartom az igazi filozófiának. Szerintem az igazi filozófia egy tudományos világszemlélettel azonos, ami tudományos abban az értelemben, hogy a kor valamennyi jelentős tudásanyagára támaszkodik, és a különböző tudományterületek eredményeit dinamikus egységbe foglalja. Természetesen az információ mai exponenciálisan hatalmasra táguló halmazában nehéz, ha nem lehetetlen mindenről akár egy kicsit is tudni. De ez nem újdonság, így volt ez mindig, például Pascal korában is, aki így írt:

„Mivel nem lehetünk egyetemes szelleműek oly módon, hogy minden lehetségest tudjunk mindenről, hát tudjunk mindenből egy keveset. Mert sokkalta szebb dolog valamit tudni mindenből, mint mindent tudni egyről; ez az egyetemes érdeklődés a legszebb dolog a világon. Persze még jobb lenne, ha mindkettő megvolna bennünk, de ha már választanunk kell, akkor válasszuk az utóbbit. Érzi ezt a művelt emberek társasága, és így is cselekszik, mert gyakran igen jó bíró ez a társaság.”⁴

Minden korban nagyobbra nőtt az emberiség tudásanyaga az elődökéhez képest, de mindig voltak emberek, akik át tudták tekinteni az összes tudományt a lényeges kérdések tekintetében. Ha ez nem lenne így, akkor diszkrét, kapcsolat nélküli rendszerekre esne szét a tudományunk, és nem funkcionálna egészként. Ez pedig azt jelentené, hogy nem lehetne globális fejlődés az emberiség tudásában.
A filozófusok dolga az, hogy mondjanak valamit a létezőkről globálisan, összefüggéseikről, és a létezés értelméről, felhasználva valamennyi tudományágban elért eredményünket. Hiába minősítette Hawking a filozófiát halottnak, ő maga is filozófiát gyárt a két film tanúsága szerint, de túlságosan szűklátókörűen, fizikus szemmel, a mai kor technika-centrikus szempontjai alapján. Az általam is kritizált, és szofistának minősített filozófia képviselőinek is az a legnagyobb hibájuk, hogy sem érdeklődésük, sem tudásuk nem egyetemes.

Nem elemzem részletesen Hawking valamennyi, az élet értelméről elhangzott gondolatát. Mindössze egy-két mondatot fűznék a végső konklúzióhoz, amely valahogy úgy hangzott, hogy „az élet értelme az, amit adunk neki”, majd Hawking azzal zárta a mondandóját, hogy „az élet értelme nem kint található, hanem itt a füleink között”. A lényegüket tekintve ezekkel a gondolatokkal egyet is értek. A Wikipédiában található definíció szerint „az élet értelme egy általános filozófiai kérdés az emberi élet vagy létezés céljával, jelentőségével és értelmével kapcsolatban.” Ebből a meghatározásból a legkönnyebben megragadható a cél fogalma. Sokkal közelebb kerülünk a válaszhoz, ha nem az élet értelmére, hanem a létezés céljára kérdezünk rá. Ha szofista módon akarok okoskodni, akkor azt mondom, hogy máris megvan a válasz, hiszen az embert, vagy általában egy értelmes lényt az emelt ki az állatvilágból, hogy el tudta képzelni a jövőt, és ezzel együtt szét tudta választani a kívánt jövőt az elkerülendőtől. Ezzel vált céltudatos lénnyé. Így mindenkiben, – akiben ki tud alakulni egy jövőkép, és el tudja választani a jót a rossztól –, kialakul a céltudat. Ezzel a logikával minden egyes ember minden egyes helyzetében meg tudunk fogalmazni egy akkor és ott érvényes célt. Ez a tény azonban nem elégséges a filozófia általános értelemben feltett kérdésének megválaszolására. Hasonló a helyzet azokhoz a matematikai problémákhoz, melyeknél konkrét esetekben polinomiális idő alatt megoldható a feladat, de az általánosan megfogalmazott probléma megoldására nincs ilyen algoritmus.

Visszatérve Hawking végkövetkeztetéseire; az élet értelmét valóban mi adjuk, pontosabb megfogalmazással az élet célját minden pillanatban mi választjuk. A lehetőségeket tőlünk független tényezők is befolyásolják, de a közöttük való a választás joga, a szabad akarat⁵ működtetése a saját cselekvésünk.

__________________________________________________________

¹Véleményem szerint ennek természeti törvényben megfogalmazható szükségszerűsége is van a bonyolultság minden nyílt rendszerre vonatkozó növekedése miatt. Lásd erről egy korábbi írásomat: „A változásokról és az evolúcióról”.

²Természetesen ez csak akkor lehetséges, ha a civilizációk rendszert alkotnak, azaz kapcsolatban állnak egymással. Ezt én akkor is lehetségesnek tartom, ha egyelőre nem tudunk ezekről a kapcsolatokról, saját – általam lehetségesnek, sőt szükségszerűnek tartott – kapcsolatainkat is beleértve. Erről egy későbbi cikkben szeretnék majd írni.

³Ebben a témában nagyon jó „kis előadás” olvasható Leszek Kolakowskitól „Jövendöléseim a vallás és a filozófia jövőjét illetően” címmel.

⁴Pascal, Gondolatok, 37

⁵Erről részletesebben lásd „A szabadságról és a szabad akaratról” szóló írást.

Nicholas Fearn, Zénon és a teknősbéka - avagy hogyan gondolkodjunk úgy, mint egy filozófus¹

Tőzsér János, Metafizika²

Nem kívánom olvasásra ajánlani az alcímben szereplő két könyvet, épp ellenkezőleg; egy csalódástól szeretném megkímélni az olvasót.

Nicholas Fearn, Zénon és a teknősbéka – avagy hogyan gondolkodjunk úgy, mint egy filozófus

A könyv írója elsősorban a filozófusok módszereit kívánja bemutatni népszerűsítő stílusban. Az olvasó érdeklődését nagyrészt azzal próbálja megőrizni, hogy a filozófusok életéről pletykál, és a módszereket is a lehető legegyszerűbb – és gyakran félrevezető – példákkal világítja meg. Ezzel az író elárulja, hogy milyen elképzelése van könyve olvasóinak műveltségéről és szellemi képességeiről. Ráadásul tartalmilag alig mond többet, mint amit az interneten egy gyors kereséssel akár az idézett filozófusokról, akár módszereikről meg lehet tudni.

A fenti példával ellentétben bölcs és tanulságos gyűjteményt ad hasonló céllal Leszek Kolakowski „Why is there something rather than nothing? – 23 questions from great philosophers” című könyvében. Ez a könyv sem nehezebb olvasmány, mint a fenti, és az internetről nem gyűjthetők le az író éleslátású, szellemes és találó gondolatai. Vajon miért nem ezt a könyvet választotta a kiadó fordításra, és kiadásra érdemesnek? Ha már a kiadót említem, nem tudom szó nélkül hagyni, hogy a könyv tele van hibával: elírt szavak, hibás ragok, felcserélt betűk stb. Szégyen az Akadémia Kiadóra egy ilyen könyv megjelentetése.

Tőzsér János, Metafizika

A könyvet 2009-ben szintén az Akadémia Kiadó jelentette meg, de én csak mostanában jutottam hozzá elektronikus könyv formájában.

Az író tankönyvnek szánta a könyvét az előszóban megfogalmazottak szerint. Így még érthetetlenebb, hogyan lehet a metafizikáról úgy írni – sőt tanítani – hogy a tárgyalt metafizikai problémák közül kimarad többek között az okság vagy az idő természete, Isten létezésének kérdése, a szabad akarat vs. determinizmus problémája, vagy éppen a jelenség és a valóság viszonya. Az természetes, hogy egy olyan hatalmas kérdéskört felölelő tudomány – mint a metafizika – tárgyalása során korlátozni kell az elemezni szánt témákat, de lényegi kérdéseket kihagyni bűn. Fogalmazhatunk úgy is, hogy a könyv tartalma nem adekvát a címével, azaz nem a metafizikáról szól általánosan, hanem annak csak speciális részterületeit öleli fel. Érdemes itt Heideggert is idézni, akinek az alábbi megállapításával teljesen egyetértek:

"... minden metafizikai kérdés mindig a metafizika problematikájának összességét öleli fel. Mindig magáról az egészről van szó."³

Ezek után a könyv témái fejezetcímekben, melyek megmaradtak a metafizika lényegi kérdéseinek - Heidegger definíciója alapján a metafizika egészének - elhagyása után:

- Tulajdonságok

- Fizikai tárgyak

- A fizikai tárgyak létezése az időben

- Események

- Lehetséges világok

A test-lélek probléma két aspektusa: a mentális okozás és a fenomenális tudatosság

Ezek a fejezetek az interneten is megtalálhatóak a Szabadbölcsészet honlapján:
http://mmi.elte.hu/szabadbolcseszet/index.php?option=com_tananyag&task=showElements&id_tananyag=62

A szerző, Tőzsér János tehát az interneten fellelhető anyagában is a könyvéhez hasonló szerkezetben, és tartalmának lényegét tekintve azonosan tárgyalja a metafizika rész-problémáit. (Már ezért is kár megvenni a könyvet, elegendő a fenti linken megtalálható anyag elolvasása.)

Rövid kis írásom nem alkalmas arra, hogy a könyvbeli fogalmakat én is elemezzem, és tárgyalásának kritikáját megfogalmazzam, viszont tervbe vettem, hogy írni fogok majd – elsősorban információelméleti szemszögből – a tárgyak és tulajdonságaik, valamint a test-lélek probléma számomra egyik legfontosabb aspektusáról: az okság/célirányosság kérdéséről.

Az Akadémia Kiadóval kapcsolatban e könyv kapcsán is értek kellemetlen, a szakszerűtlenségre utaló események. Elsőként az, hogy az elektronikus könyv letöltése után nem találtam a könyvet tartalmazó fájlt, amit szerettem volna átmásolni az e-könyv olvasómba. Kiderült, hogy a fájl – kérdés és tájékoztatás nélkül – automatikusan bekerült az MS rendszer egyik alkönyvtárába. Mindezt felderítve újabb akadály következett, amikor kiderült, hogy a KoobeClassicPlus olvasóm nem tudja kezelni a fájlt annak ellenére, hogy a fájlnál alkalmazott DRM védelmet kezelni képes. Ezek után már csak azt kellett tennem, hogy  letöltsek egy ePUB DRM Removal programot az internetről, ami ingyenesen engedett 2 file védelmét feloldani, és az így feltört fájl már kezelhető volt az olvasón is. Ennyi bonyodalom után elképzeltem, mennyi utánajárásba, telefonálgatásba kerülhet egy számítástechnikához alig értő olvasónak egy ilyen elektronikus könyv „beüzemelése”.

___________________________________________________________

¹ http://www.libri.hu/konyv/zenon-es-a-teknosbeka.html

² http://akkrt.hu/1192/e_konyv/filozofia_es_logika/metafizika_ebook

³ Martin Heidegger, Mi a metafizika

A kiválasztási axióma (AC) és a kontinuum hipotézis (CH)

Már korábban leírtam, milyen problémákat látok a Cantor-féle diagonális módszerben:

- A természetes számok halmazán elválaszthatatlan a számok rendezettsége a számosságától¹. Így nem csak a nagyobb számosságok – pl. continuum – bizonyításánál alkalmazott diagonális módszerrel, de a halmazok számosságának összehasonlításával is baj lehet, ha az a két halmazból vett elemek megfeleltetésén alapszik. Ilyenkor ugyanis sok esetben akaratlanul is az egyik halmaz rendezettségét hasonlítjuk össze a másik rendezettségével, és nem a számosságukat. Ez történik a természetes számok és a valós számok összehasonlításánál alkalmazott Cantor-féle diagonális módszernél is.

- A végtelen nagy számok mellett figyelembe kell venni a végtelen kicsinyek létezésének kérdését is. A természetes számok és a valós számok összehasonlításánál alkalmazott Cantor-féle diagonális módszerben az a ki nem mondott feltételezés szerepel, hogy ilyenek nincsenek. Pedig a CH-nak, illetve alternatív állításainak megfeleltethető egy-egy állítás az infinitezimálisok körében is, csak itt a CH alternatív állításai mellett a klasszikus folytonosság, sőt a klasszikus határérték definíciója sem alkalmazható változtatás nélkül².

Problémát látok az AC és CH kapcsolatában is. Az én emlékezetembe a kettő ekvivalensnek íródott be annak ellenére, hogy Gödel és Cohen megmutatták, hogy sem a CH tagadása, sem maga CH nem bizonyítható ZFC-ben, azaz a kiválasztási axiómával bővitett Zermelo-Fraenkel axiómarendszerben. Azért is gondoltam ezt, mert egy valós szám aktuális létét nem tudtam elképzelni a kiválasztási axióma egy speciális megfogalmazása nélkül. A valós számok „megközelítő” értelmezése csak potenciális létüket jelenti, aktuálissá egy „deklaráció” teheti az én szememben³, azaz az AC-nak egy olyan formája, amely megszámlálhatóan sok végtelen kiválaszthatóságára vonatkozik. Ezzel párhuzamosan a valós számok halmazát kiterjesztő számábrázolás; a számok végtelen nagy helyiértékeinek aktuális létét modellező kételemű számok egyben a kontinuum hipotézis más-más megfogalmazását is modellezik. Az én nézetemben az AC-vel aktualizáltam a valós számok létét, és ezek után  beszélhetek a CH különböző megfogalmazásairól.

Az extenzív és intenzív végtelenre tett állítások dualitását nagyon hasonlónak gondolom a speciális geometriák szétválasztásához, ahol az egyenesek párhuzamosságával kapcsolatos állításokból, és a háromszögek szögösszegeire tett állításból egyaránt a – görbületében mindenütt egyforma – három speciális geometriához jutok. Eszerint az egyenesek végtelenben való sajátságos viselkedése és a háromszögek lokális szögösszeg-összefüggése egymásnak megfeleltethető módon vezetnek egy adott geometriához, és ugyanígy az extenzív végtelenek eltérő definiálása megfeleltethető az intenzív végtelenek hasonlóan eltérő viselkedésének. Tehát a kételemű számok egy-egy speciális fajtájához jutunk, akár az extenzív végtelen nagy számot definiáljuk speciális módon, akár az intenzív végtelenek értelmezésére felírt különböző egyenlőtlenségek egyikét alkalmazzuk.

A jelenlegi halmazelméleti axiómarendszerben – már akik a ZFC CH-val való kiegészítését gondolják korrektnek – azt a problémát látom, hogy az így létrejött halmazelméletben az AC-t és a CH-t nem kapcsolták össze korrektül: a bevezetett AC általánosan aktualizálja a végtelen sok halmazból való elem-kiválaszthatóságot, a használt CH pedig tagadja a végtelenek speciális formáinak a létét. (Lehet, hogy ezek az ellentmondások vezethetnek pl. a Tarski-Banach paradoxonhoz, és hasonlókhoz.) Szerintem a ZFC CH-val kiegészítése csak akkor korrekt, ha a ZFC-ben az AC-t a megszámlálhatóan sok számosságú halmazokból való elemek kiválaszthatóságára mondom ki, majd kiegészítem a három különböző módon megfogalmazható CH valamelyikével. Lehet, hogy rosszul gondolom mindezt, mert még sok mindent nem gondoltam végig.

_________________________________________________________________________

¹A természetes számok egyszerre jelentenek sorszámot és egy szakasz hosszát – tehát mennyiséget – a számegyenesen, és e két jelentésük nem válik szét, hol az egyik értelmében használjuk a természetes számokat, hol a másik értelmükben. A transzfinitek világában viszont lényeges módon különböznek az ordinális- vagyis rendszámok a kardinális számoktól, azaz a mennyiségi értelmű számosságoktól. Lásd erről például az 1974-ben megjelent „Végtelenség és világegyetem” cikkgyűjtemény 103. oldalán a B. A. Lasztocskin, „Végtelenség és valószínűség” című cikkét.

² Érdekes, hogy a transzfinitben épp a CH jelenlegi feltételezése – nincsenek közbülső számosságok – adja a végtelenek nem folytonos, diszkrét mennyiségként megjelenő képét. Ugyanakkor az infinitezimálisoknál a CH-nak megfelelő állítás a kontinuum jelenleg folytonosnak gondolt képét adja, a CH alternatív állításai viszont megszüntetik a folytonosságot az infinitezimálisok körében.

³Zénon apóriái is hasonlóan közelíthetőek meg. Mind Zénon logikai problémái a mozgással, mind a kiválasztási axióma szükségessége a matematikában az aktuális végtelen létéhez; azzal függ össze, hogy a fizikai időnek megfelelő matematikai fogalom kidolgozatlan még ma is. Épp a kiválasztási axióma speciális megfogalmazása, és – szerintem – a vele igen szoros kapcsolatban álló, kontinuumra vonatkozó speciális egyenlőtlenség hozza be a matematikába az idő és a tér sajátos kapcsolatának modelljeit.

(Recenzió)

Érdekes könyvet¹ adott ki a Typotex Kiadó; Székelyné Csuka Olga filozófiai esszéit magyarul és angolul egy kötetben. A könyvhöz Vajda Mihály írt előszót, és a szerző férje, Székely Zoltán írta a fülszöveget. Ez utóbbi két írást eléggé furcsának találtam, mert mindkettőben volt olyan fordulat, amely egy átlagolvasót elriasztana a könyvtől. Vajda Mihály kétértelműen – és jóllehet, idézőjelben – „tudománytalannak”, de igaznak minősítette az esszéket. Székely Zoltán pedig skizofréniára tett homályos utalást.

Most csak az első esszével kapcsolatos egy-két gondolatomat vázolom. A könyv címét is ez az esszé ihlette: „Descartes filozófiájának újragondolása (Polémia Heideggerrel)”. Már az is érdekes számomra, hogy Descartes híres „gondolkodom, tehát vagyok” megállapítása kezdetben más formákat öltött: „kételkedem, tehát vagyok”, „meggyőztem magam, tehát vagyok”, „megtévesztettek engem, tehát vagyok”. „A szabadságról és a szabad akaratról” című cikkemben megfogalmaztam, hogy szabadságunk megnyilvánulása a gondolataink alapján meghozott döntés, választás a jövőbeli cselekedeteink alternatívái között. Ez a gondolatfűzés Descartes azon gondolatával rokon, hogy „meggyőztem magam, tehát vagyok”. Másrészt a „Hit és kételkedés” című kis írásomban több oldalról is megvilágítottam, hogy a kétely mennyire szerves része tudásunknak és hitrendszerünknek, így szellemi önnön magunknak. Ez a gondolatmenet Descartes másik megfogalmazásának felel meg: „kételkedem, tehát vagyok”.

Székelyné Csuka Olga következő gondolatsorával szeretnék vitatkozni:

«Mivel a kételkedés az akarat megnyilvánulása, a következőt kapjuk: a "gondolkodom, tehát vagyok" eredeti formájában ,,kételkedem, tehát vagyok" tényleges jelentése "akarok, tehát vagyok".»²

A szavak, fogalmak pontatlansága miatt zavarba ejtő a fenti okoskodás. Érthetőbbé válik, ha tovább olvassuk a könyvet:

„Fontos hozzáfűznünk, hogy Descartes-nál az értelem és az akarat között szoros összefonódás van. Minél nagyobb az értelmi megragadás bizonyosságfoka, annál valószínűbb, hogy az akarat megerősíti (megítéli, követi). A teoretikus ítélet nem más, mint az akarat csatlakozása ahhoz, ami igaz.”³

Ezek is definiálatlan fogalmakkal teli mondatok, de már követhető a fejtegetés, és érthető a korábbi idézet is. A probléma az, hogy az úgynevezett „értelmi megragadás bizonyosságfokát” – olvasatomban a bennünk lévő valóság-kép valószínűségét – is mi magunk ítéljük meg, és mennél valószínűbbnek ítéljük meg ezt a valóság-képet, annál nagyobb bizonyossággal támaszkodunk rá, és az akaratunkat, azaz szellemi mozgatóerőnket ennek megfelelően irányítjuk. Így véleményem szerint, az akarat, mint vágy, és szándék szellemi léte ellenére sokkal inkább egyfajta – a fizikai erővel rokon – erő⁴, mintsem intellektuális aktus. Az akaratot megelőzi egy választás; első lépésként a fent említett valóságképek valószínűségi megítélése, majd a legvalószínűbb kiválasztása. Ez a folyamat a belső szabadság megnyílvánulása. Ez az, ami az individuumot azzá teszi, aki vagy ami. Így sokkal inkább mondhatnám azt a „gondolkodom, tehát vagyok” lényegi elemének azt, hogy „döntést hozok, tehát vagyok”, mint az „akarok, tehát vagyok”. És ez közelebb is áll Descartes egyik korábbi megfogalmazásához, mégpedig ahhoz, hogy „meggyőztem magam, tehát vagyok”.

Valójában nincs semmi baj Descartes végső megfogalmazásával, hiszen ez a lényeget jelenti: az emberi lét lényegi megnyilvánulása egy belső információfeldolgozási folyamat, az úgynevezett gondolkodás következménye. Ugyanakkor általános értelemben vett információfeldolgozás, sőt választásnak nevezhető, csak a belső folyamatoktól meghatározott aktus minden egyedi létező sajátja. Ez a sajátosság tesz minden létezőt egyedivé, hiszen csak belülről determinált tulajdonság.⁵ Így ha Descartes híressé vált gondolatát le akarnánk cserélni, akkor én arra a megfogalmazásra szavazok; hogy "döntést hozok, tehát vagyok".

Szívesen fűznék véleményt a könyv többi gondolatához is, de ízelítőül elég ennyi. Élvezettel olvastam az egész könyvet. Sok ötletadó gondolatot találtam benne. Természetesen gyakran nem értettem egyet a szerzővel, de ez nem minősíti az írást. Épp ellenkezőleg; nagyon szeretem összevetni a saját gondolataimat másokéval, és örülök, ha az összehasonlítás eltéréseket mutat. Ilyen eltérésekből lehet sokat tanulni. Jelen könyvvel kapcsolatos eltérő véleményem általában abból fakadt, hogy a szerző – a filozófusok majd mindegyikéhez hasonlóan – nagy valószínűséggel nem ért a matematikához, és a természettudományokhoz. Sokkal átláthatóbb, érthetőbb a világ a matematikai összefüggések, és ezek felhasználhatóságának ismeretében. Ezt tudva és tapasztalva meglepő számomra, hogy még mindig lehet új és helytálló gondolatokra jutni a verbális nyelv szerkezetének szekvenciális kötöttségében vergődve.

________________________________________________________________________________________

¹ http://www.typotex.hu/konyv/szekelyne_csuka_olga_akarok_tehat_vagyok
² Id. mű 17. oldal
³ Id. mű 17-18. oldal
⁴ Akaraterő!
⁵ Ezeket a gondolatokat sokkal részletesebben fejtettem ki a „Szabadságról és szabad akaratról” című cikkemben.

 Megjegyzés
Cikkem megjelenése után a könyv szerzője tájékoztatott arról, hogy tévedek a megítélését illetően, mert matematikus végzettségű. A tévedések nagyon árulkodóak és tanulságosak, ahogy ez a melléfogásom is. 

Két apropója van ennek a cikknek:

- Az utóbbi időben korrepetálásokat vállaltam matematikából, fizikából és számítástechnikából.
- Láttam egy érdekes videót a matematikaoktatás hibáiról, és egy jobb oktatási módszer felvázolásáról.¹

Így sok tapasztalatot szereztem ismét arról, hogy mennyire rossz metodikát alkalmaznak a matematikaoktatásban nem csak nálunk, Magyarországon, de mindenütt a világon.

Vegyünk néhány példát a saját tapasztalataimból²:

1. A tananyag összeállításának hibái

A matematika, mint nyelv – sok egyéb között – abban különbözik a verbális nyelvtől, hogy információi hierarchikusan egymásra épülnek. Ezért nagyon fontos a tartalmi sorrend és az építmény szépségének átadása, megértetése. Az általam átnézett tankönyvekben semmiféle belső logikus konstrukciót nem találtam. Inkább valamiféle szemelvény-gyűjteményhez hasonlítottak, vagy a kínai konyha kínálatához: ebből is egy kicsi, abból is egy kicsi kóstoló. Ez a fajta összeállítás sem a matematikát tovább tanulóknak, sem a matematikatanulást a középiskolával befejezők számára nem előnyös. Az előbbieknek kevés az „ízelítő”, az utóbbiaknak pedig nem lesz emlékezetes a sok apró részlet felvillantása. Nem csodálom, hogy az egyetemek küszködnek a matematikailag felkészületlen hallgatókkal. Dávid Gyula fizikus az egyik előadásában azt mondta – de több fizikustól, és az ELTE-n számítástechnikát oktatótól halottam ugyanazt –, hogy az egyetem első éve azzal telik el, hogy pótolni kell a gimnáziumban kimaradt matematika megtanítását.

2. A tankönyvek, mint vizuális effektek hibái

A színekben tobzódó, és a formai elemeket – például ábrákat, margó-szövegeket – halmozó könyvek alig áttekinthetőek. Az egyik könyv például logikátlanul a margóra³ emelte ki a legfontosabb összefüggéseket is. Ami annyiban érthető, hogy így nem veszett el a színes szövegek-ábrák kavalkádjában, de a margót általában megjegyzésre használják, így a diákokban teljesen téves kép alakul ki a formai szokásokról. Hogyan értik meg ezek után a „marginális” kifejezés jelentését, amivel általában valaminek a mellékes, nem központi jellegét fejezik ki.

A könyvek túlszínezését tekintve csak azt lehet mondani, hogy kevesebb több lenne.

3. A matematika lelke a feladatmegoldás

Egy-két mintapéldát eltekintve a könyvek nem tartalmazzák a feladatsoraik megoldását, nem csak annak részleteit, de végeredményeit sem. Ezzel a tanulók teljesen képtelenek lesznek önmagukban eldönteni a megoldásaik helyességét, így ezek a feladatok gyakorlásra alkalmatlanok. Ha a tanároknak lenne idejük a házi feladatok utólagos megbeszélésére, akkor is sok feladat maradna megmagyarázatlan a diákok számára. De saját tapasztalatból tudom, hogy nincs idejük a házi feladatok ellenőrzésére.⁴ Sokkal helyesebb lenne, ha az alap-tankönyvben nem maradna megmagyarázatlan anyag, és ha a tanár olyan feladatot szeretne feladni, aminek nincs meg a könyvben a megoldása, akkor ezt tegye meg egyéb segédeszközből, példatárból. Ekkor viszont az ilyen feladatot mindenképpen meg kell beszélni a következő órán.

4. A matematikatanárokról

Saját nagyon régi tapasztalataim is siralmasak a matematikatanárok többségét illetően, de a mai – igaz, csak elmondások alapján ismert – példák még riasztóbbak. Kezelhetnénk ezeket a meséket úgy, hogy a diákok szeretik a tanárt hibáztatni, de ha mindezt igazán jól tanulók is mondják, akkor oda kell figyelni. Továbbá oda kell figyelni az egyetemi oktatók tapasztalataira. Nem véletlen az sem, hogy miért lettek most tanítványaim, holott nem kerestem őket, ők találtak rám.

5. Számítástechnika a matematikaoktatásban

Amint a cikk elején említett videóban is ajánlja az előadó; számítástechnikai módszerekkel lehetne szemléletesebbé tenni, és megszerettetni a matematikát. A gépek a fiatalok kedvencei, tehát egy számukra jól ismert és kedvelt eszköz mutatná be a matematika sokszínűségét. A matematika nem attól sokszínű, hogy színes betűkkel, vagy rajzokkal írok róla, hanem tartalmában, használhatóságában változatos, olyannyira, hogy nélkülözhetetlen nem csak a tudományokban, de a hétköznapi élet minden területén. Ennek a szemléltetésére tökéletesen alkalmas a számítógép. Nagyon sok, és jó szoftver⁵ készült már erre a célra, igaz, ezek legjobbjai nagyon drágák. Van már ezek között igen jó nyílt forráskódú eszköz is, lásd az 5. lábjegyzetet. Ezek használatának komoly akadálya, hogy hazánkban – a nemzetközi példákat nem ismerem – a tanárképzésben az egyetemeken a számítástechnikai szemléltetőeszközök⁶, de maga a számítástechnika oktatása is nagyon gyenge.

_________________________________________________________________________

¹ http://www.ted.com/talks/lang/hu/conrad_wolfram_teaching_kids_real_math_with_computers.html

² A példák elsősorban a 9-10. osztályos, vagy másképpen a gimnázium 1-2. osztályos tananyagaira, és oktatási segédeszközeire vonatkoznak. Fontos még megjegyeznem, hogy teljességre sem törekszem a kritikámban, pusztán felsorolok néhány kirívó jellemzőt.

³ Például a Mozaik Kiadó – egyébként sok nagydíjat (Szép Magyar Könyv, IX. Budapesti Könyvfesztivál stb.) – elnyert könyve ilyen: Sokszínű Matematika 10. Kevésbé jellemző ez a Maxim Könyvkiadó Matematika 10. könyvére, de ott is előfordul.

⁴ Ezért fordult elő, hogy kitűnően tanuló – igaz, humán beállítottságú – diákok is fordultak hozzám segítségért.

⁵ Lásd a témáról a http://wmi.math.u-szeged.hu/mediawiki/index.php/WxMaxima#Mi_a_wxMaxima.3F weboldalt.

⁶ Ezt most csak elmondásból ismerem, mert bár 17 évig dolgoztam az ELTE számítóközpontjában, de az utóbbi 20 évben már más helyeken, és területeken dolgoztam. A kapcsolatom elég szegényessé vált az ELTE-vel, és csak ismerőseim elmondásaira hagyatkozhatom. Saját tapasztalatom is van annyiban, hogy egyetemi előadók előadását látva – Kossuth Klubban, vagy az interneten – még mindig a krétás táblánál tartanak, és jó ha már kivetítőt használnak. Ezzel szemben kitűnő online technikákkal oktatnak számítástechnikát például a Netakadémián.