2015. május 17., vasárnap 19:11

Infó-tér

Ismét és nem utoljára az információról

„Ha sok cseresznyepaprikát madzagra fűzünk, abból lesz a paprikakoszorú.
Ha viszont nem fűzzük fel őket, nem lesz belőlük koszorú.
Pedig a paprika ugyanannyi, éppoly piros, éppoly erős. De mégse koszorú.
Csak a madzag tenné? Nem a madzag teszi. Az a madzag, mint tudjuk, mellékes, harmadrangú valami.
Hát akkor mi?
Aki ezen elgondolkozik, s ügyel rá, hogy gondolatai ne kalandozzanak összevissza, hanem helyes irányban haladjanak, nagy igazságoknak jöhet a nyomára.”
(Örkény István, Az élet értelme)

Nem először írok arról, hogy a teret és az időt a jelenségek rendezési elvének tekintem. Úgy gondolom, hogy a tér egy információs mező a megfigyelő számára.1

Nem csak a kvantumfizika, de a relativitáselmélet is egyfajta „információelmélet”, azaz nem a jelenségeket, hanem a jelenségekről kapott információimat írja le.

Az információt szerkezeti energiának tekintve, az információt nem tartalmazó, azaz ideális energiát, – ami egyébként a valóságban nem létezik – ponthalmazként képzelem el. A klasszikus energiát nem tartalmazó, azaz ideális információt, – ami egyébként a valóságban szintén nem létezik – „szálas” szerkezetűnek gondolom, azaz valamiféle összekapcsolódó szakaszok kisebb nagyobb bonyolultságú geometriai struktúrájának, valamiféle kapcsolati hálónak tekintem. Ezekre az ideális objektumokra definiált entrópia változását nem lehet egyszerűen összesíteni, mivel az entrópia-fogalomban szereplő matematikai mennyiségek fizikai megfelelője nem azonos. Mindenesetre az biztos, hogy a fizikai entrópia egy nyitottságot igénylő változás – azaz két rendszer összenyitása – utáni zárt rendszerbeli változást jelent. Bizonyos szempontból hasonlóan az információs entrópia változás is egy nyitottságot igénylő – azaz információszerző – változás utáni zárt rendszerbeli változást ír le. Mindkét esetben a rendszer bonyolultságában történő változás után mérünk, ugyanakkor a két ideális eset közötti különbség nyilvánvaló, hiszen a fizikai rendszernél a kezdő változás a rendszerek bonyolultságát csökkenti, hiszen két rendszer összenyitásáról van szó. Az informatikai rendszernél viszont a bonyolultság nő az információszerzés következtében. Így logikus, hogy a hasonlóan bevezetett entrópia-mérés ellenkező előjelű a két esetben.

Az entrópia – és a háttérben megbúvó rendszer-bonyolultság – azzal az érdekes tulajdonsággal bír, hogy pozitív változás esetében van a változásnak minimuma, negatív változás esetében viszont nincs minimum. Ez a bonyolultság tekintetében azt jelenti, hogy egy rendszer bonyolultságának van minimuma, de nincs maximuma, ez nyilvánvaló is, ha nyitott rendszerről van szó.

_________________________________________

1 A tőlem x távolságra – ahol x>0 – lévő jelenségekről csak információval rendelkezem. (Az itt-és-mostban a tőlem való távolság nullával egyenlő, azaz x=0 és t=0.) Az x>0, vagy x≠0 tőlem való távolsággal definiált tér nem a részem, rajtam kívül van. A „mostomhoz” viszonyított t idővel egészen más a helyzet. A t≠0 eset is részem lehet, pontosabban a történetemnek és a „mosthoz” képest t≠0 időnek a metszete nem üres halmaz.

A bivektor és a paralelogrammák ekvivalenciája a három számsíkon

Előzmények

Emlékeztetőül felsorolok néhány eddig bevezetett fogalmat. Korábbi kis cikkemben1 írtam arról, hogy mindhárom számsíkon azonos módon definiálható egy szimplektikus forma az

ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = x1y2 – x2y1

leképezéssel, ahol a felülvonás a szám konjugáltját jelzi, Im pedig a mögötte álló képzetes részét. Ennek a leképezésnek a számok koordinátáira átírt formája azonos a három számsíkon, és akkor egyenlő 0-val, ha x1y2=x2y1 azaz y1/x1=y2/x2, tehát ha a két számvektor egy egyenesre illeszkedik. Másképpen megfogalmazva ez a ferde skaláris szorzat akkor 0, ha az egyik vektor a másik vektor számszorosa.

Bevezettem egy szorzatfüggvényt is a kételemű számok mindegyikére a következő alakban:

Π(z1,z2) = z̄1z2 = ˂z1,z2> + δ ω(z1,z2) ahol δ = i, j, k és i2=-1, j2=0, k2=1

A fenti egyenletben <z1,z2> a z1 és z2 számok skalárszorzata, melyek definíciója koordináta szinten különbözik attól függően, hogy komplex, parabolikus, vagy hiperbolikus számsíkról2 van szó. Az ω(z1,z2) pedig a z1 és z2 számok fent említett ferde-skaláris szorzata, mely mindhárom számsíkon azonos módon definiált a számvektorok koordinátáit tekintve, de geometriai alakjukban eltérnek. Emlékeztetőül a definíciók:

Skaláris szorzat:

Hiperbolikus eset:
˂z1,z2> = Re (z̄1z2) = |z̄1| |z2| cosh (τ21) = x1x2 – y1y2

Parabolikus eset:
˂z1,z2> = Re (z̄1z2) = |z̄1||z2| = x1x2

Komplex eset:
˂z1,z2> = Re (z̄1z2) = |z̄1||z2| cos (φ21) = x1x2 + y1y2

Ferde-skaláris szorzat:

Hiperbolikus eset:
ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = |z̄1||z2| sinh (τ21) =x1y2 – x2y1

Parabolikus eset3:
ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = |z̄1||z2| sp∆a =x1y2 – x2y1

Komplex számsíkon:
ω(z1,z2) = Im(z̄1z2) = |z̄1||z2| sin (φ21) =x1y2 – x2y1

____________________________________

1 Lásd: a «A szimplektikus teve „természetes előfordulásai”» című cikket

2 Lásd a számsíkok összehasonlító táblázatát.

3 Az sp függvény a parabolikus – vagy másképp duális – számokon értelmezett függvény, melyre „sp arg(z) = y/x” ahol „arg z = y/x” ha z=x+jy és j2=0.

 

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található.

2015. április 14., kedd 14:39

Az idő újjászületése

Röpke gondolatok Lee Smolin könyvét olvasva

„Hogy a lényegre térjek: ma már nem hiszem azt, hogy az idő nem valóságos. Valójában épp az ellentétes nézőpontot képviselem: nemcsak hogy valóságos az idő, de semmi más, amit tudunk vagy tapasztalunk, nem visz közelebb a természet lényegéhez, mint az idő valóságossága.”
(Lee Smolin)

1. A matematikai objektumok – alkotás vs. felfedezés

Az ideák világának valóságosságáról szóló vitában Smolin úgy foglal állást, hogy „A matematikai objektumok tisztán gondolati képződmények. Nem felfedezzük a parabolákat a világban, hanem kitaláljuk őket.” Nem osztom a véleményét1, hiszen a fenti állítás általánosítva azt jelenti, hogy az információt mi alkotjuk, és nem kiolvassuk a környezetünkből. Természetesen sok információhoz a meglévő információink variálásával, új információ kitalálásával jutunk, de az információszerzés alapja a tapasztalat. Egy nagyon primitív példával; ha három almát látunk egy tálkán, akkor a három alma „háromsága” egy matematikai objektum, puszta információ, de azt, amit a „három”, és általában egy szám takar, azt mi fedeztük fel valamikor, és semmiképp nem a találmányunk.

2015. április 04., szombat 17:03

A geometriai algebra alapelemei és a számok I.

Út a végtelenekhez?

"A matematika a tudományok királynője,
és a matematika királynője a számelmélet."
(Carl Friedrich Gauss)

Az algebra a számolás tudományaként indult, majd a műveletek általános, absztrakt területévé vált. A geometria a földmérésből fejlődött ki, és a térbeli összefüggések elméleti tudománya lett. A matematika egyre elvontabbá válásával mind nagyobb szükség volt az absztrakciók gyakorlatba való átültetésére, azaz a számítási és mérési módszerekre. Ezzel a matematika kettéágazott elméleti és alkalmazott matematikára, melyek tovább tagolódtak esetenként hatalmas tudományágakra. Nem szorul magyarázatra, hogy a számok világa miért az egyik legfontosabb kutatási területe mind az elméleti, mind az alkalmazott matematikának. A számok tudománya töretlenül a matematika legfontosabb területe, Gausst idézve a „matematika királynője”.1 A geometriai algebra a számok egy újfajta geometriai absztrakciója. Most egy fordított utat szeretnék bejárni; az ismert számfogalmaktól elindulva szeretném megtalálni a kapcsolatot az elvont geometriai algebrával, majd ennek eszközei segítségével bővíteném a „számolható” számok – végesek és végtelenek – világát, melyek sokkal általánosabb objektumok az eddig ismert számfogalmaknál, azaz a valós, az imaginárius, a hiperkomplex és egyéb számoknál.

Jól ismertsége miatt nem térek ki a skaláris – vagy belső – és vektoriális – vagy külső – szorzatok definíciójára. A geometriai szorzat eredeztethető belőlük, de ennek a fordítottja is elképzelhető, azaz a geometriai algebra absztrakt definícióiból2 eredeztetni a geometriai szorzatot, majd ebből két vektor belső és külső szorzatát, melyek összege épp a geometriai szorzat:

__________________________________

1 Én a számolást egyfajta időbeli műveletnek tekintem, a mérést pedig térbelinek. Ilyen értelemben az algebra és a geometria találkozása – az algebrai geometriában és a geometriai algebrában – az idő és a tér absztrakcióinak összekapcsolódását jelenti. Nem véletlen tehát, hogy jelenleg a geometriai algebrának vannak a téridő leírására legalkalmasabb eszközei.

2Az axiómákra épített geometriai algebra bevezetésére lásd például az egyik könyvelőzetesemben említett művet: David Hestenes – Garret Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus:
http://books.google.hu/books/about/Clifford_Algebra_to_Geometric_Calculus.html?id=dScR5zwrheYC&redir_esc=y


A teljes szöveg PDF fájlban itt található, 2015. április 21-én javított verzió.

„Hűs, dobott csillagok,
Kiktől szemem káprázik,
Hol marad legkülömb
Társatok,
Testvérem, a másik?”
(Ady Endre, Az egyenes csillag)

Költői kérdésnek tartják sokan a címben megfogalmazottat, mint jelenlegi tudásszintünkön megválaszolhatatlan dilemmát.1 Ez a téma szorosan összefügg az élet értelmével kapcsolatos elképzeléseinkkel. Épp ez utóbbi – mindenki számára egyénenként is fontos gondolatkör – miatt lenne jó tudni; vajon élet-idegen univerzumban jelentünk meg véletlenszerűen, az anyagi világ változásainak kuriózumaként, vagy az okok törvényszerű sora, esetleg célirányos program eredménye az emberiség megjelenése. Nem kell sem hívőnek, sem valamely SETI-program részvevőjének lenni, hogy ezek a kérdések érdekeljék az embert még akkor is, ha a kutatás eddig nem járt eredménnyel.

A földönkívüliek létének minden eddigi bizonyítéka és cáfolata megkérdőjelezhető, így egyelőre hit kérdése, hogy létezőknek gondoljuk őket, vagy sem. „Hit és kételkedés” című kis írásomban kitértem a hitnek arra a fontos tulajdonságára, hogy a tudottakkal szemben a hitt dolgokat befolyásolja az érdekeltségünk. Ez azt jelenti, hogy jobban hiszünk abban, amit számunkra kedvezőnek gondolunk. Véleményem szerint a földönkívüliek létében azok hisznek szívesebben, akik ezt pozitívumként értékelik, és azok kételkednek inkább, akiket egy idegen intelligencia léte félelemmel tölt el, vagy akikben ez egyéb ellenérzéseket kelt. Mindenkinek érdemes a hitét ebből a szempontból megvizsgálni, azaz végig kell gondolni, hogy hitünket/kételkedésünket mennyiben motiválja tárgyának kedvező, vagy kedvezőtlen megítélése. A hitet befolyásoló önérdek oda is vezethet, hogy valószínűtlen, vagy igen kicsi valószínűségű kimenetek is hihetővé válnak. Ez igen hasznos lehet egy kilátástalan helyzetből való menekülés során, de nagyon veszélyes lehet akkor, ha tetemes nyereség reményében túl nagy kockázatot vállalunk.

____________________________________

1 Hankiss Elemér, Emberi kaland című könyve ihlette ezt a kis írást.

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található

2015. február 03., kedd 19:39

Hankiss Elemér, Az emberi kaland

he 010

Nekrológ helyett

Többször tanácsolták nekem életem nehéz időszakaiban, hogy fogjam fel kalandnak azt, ami történik velem. Hankiss Elemér is bölcsen kalandnak tekintette tudósként és közéleti szereplőként elviselt megpróbáltatásait. Az emberi kaland című könyvében az emberiség történetéről osztja meg velünk gondolatait; az emberi kultúra kalandos változásáról, és a változásban a maradandóságról.

Hankiss Elemér úgy tekint az emberiségre, mint egy idegen világba csöppent közösségre, melynek minden törekvése arra irányul, hogy számára élhetővé tegye a fenyegető környezetet. Ez az igyekezet nem csak a föld és eszközök megmunkálását, házak építését, egyszóval a fizikai világ átalakítását jelenti, hanem a kultúra szóval jellemezhető szimbolikus formák kialakítását.

„… az ember nem tud élni anélkül, hogy ne fejezze ki magát [szimbólumokban]. A különböző kifejezésformák [vagyis a különböző szimbolikus formák] új szférát képeznek… Az emberi kultúra egésze leírható úgy, mint az ember folyamatos önfelszabadításának folyamata. A nyelv, a művészet, a vallás, a tudomány különböző fázisai ennek a folyamatnak. Az ember mindezekben egy új hatalmat fedez és mutat föl – azt a hatalmat, hogy képes felépíteni saját világát, egy «eszményi» világot.”1

_______________________________________

1 Hankiss Elemér kiemelése Ernst Cassirer német filozófustól. Hankiss Elemér, Az emberi kaland, Helikon, 2014, 76-77. oldal

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található

2015. január 25., vasárnap 13:45

Friss képek, rólam, nem selfies

A mellékelt képek 2014 végén készültek, Zizi készítette őket.

2015. január 24., szombat 14:26

A 2x2 józansága

Egyre gyakrabban jut eszembe egy régi iskolai élményem. Az általános iskola hatodik vagy hetedik osztályába jártam, amikor számtan órán egy alsó tagozatos tanítónő helyettesített, és az egyik feladat során 0,6-et osztva 0,2-del 0,3-et kapott eredményül. Meglepődtem, és kezdtem magam kényelmetlenül érezni, végül jelentkeztem, és szóltam, hogy 0,6-ben a 0,2 nem 0,3-szor, hanem 3-szor van meg. Ezzel elszabadult pokol. A tanítónő szörnyülködött, hogy mondhatok ilyet, az osztálytársaim is nekem estek, hogy kitűnő tanuló létemre hogyan tévedhetek ekkorát. Én pedig egyre jobban elképedtem, és bizonyításul több ötlettel álltam elő; például szorozzuk be az osztandót és az osztót tízzel, és utána végezzük el az osztást. Mindhiába, mert a számtan szabályrendszerét átfogalmazták a kívánt hamis eredmény eléréséhez, én pedig nem tudtam meggyőzni senkit. A történet úgy folytatódott, hogy a következő szünetben az osztály több tagja lerohanta az udvaron ügyeletes tornatanárt, megkérve, bizonyítsa be nekem, hogy nincs igazam, amikor azt mondom, hogy 0,6/0,2=3. A tornatanár megütközve hallgatta a történetet, és természetesen nekem adott igazat. Végül nagy botrány kerekedett az ügyből, és az osztályunk jó néhány számtandolgozatot írt az eset tanulságául.1

Azóta több pszichológiai esettanulmányt olvastam arról, hogy a többség miképp tud meggyőzni valakit a nyilvánvaló ellenkezőjéről. Az én történetem egy kicsit eltér ezektől annyiban, hogy ez az eset sokkal inkább a tekintély-elvűséget példázza. Ez a história bemutatja; milyen könnyedén tudja egy tekintéllyel bíró személy a biztosan hibás véleményét elfogadtatni sokakkal, még olyan területen is, mint az elemi matematika, amelytől igencsak távol áll a szubjektív megítélés lehetősége. A matematika-tanítás hibáit is felfedi a sztori. A matematikát nem a való élettől idegen szabályrendszerként kell tanítani, hanem a fizikai világunkból származtatott információk absztrakciójaként, tovább gondolásaként. Én is elkövettem azt a mulasztást a fenti történetben, hogy csak szabályokkal próbáltam érvelni egy rosszul megjegyzett szabállyal szemben, ahelyett, hogy a fizikai valósággal példálóztam volna, azzal a tapasztalattal, amelyből a szabályok származnak. (Például egy alma tíz részre osztásával szemléltethettem volna a feladatot.)

A közélet visszásságai juttatják eszembe rendre a fenti történetet, mivel szinte nap, mint nap találkozom a tekintélyre alapozott manipulációval. A mesterkedést mindig bonyolult, vagy hangzatos szóvirágok mögé rejtik, és semmi mást nem kell tenni a praktika leleplezésére, mint lecsupaszítani a közlést a tényszerű tartalomra, amiről már sokkal könnyebb eldönteni, hogy mennyi belőle az igaz és mennyi a hamis.

Georg Steiner fél évszázada írta a következőket, melyek ma aktuálisabbak, mint valaha:

„Korunkban obszkurantizmus és őrület fertőzte meg a politika nyelvét. Nincs olyan otromba hazugság, amely ne lelne buzgó kimondóra, nincs olyan aljas brutalitás, amelynek ne kelne védelmére a hisztoricizmus szófacsarása. Hacsak nem adhatjuk bizonyos mértékben vissza újságjaink, törvényeink, politikai aktusaink szavainak világos és szigorúan körülírt jelentését, életünk még közelebb kerül a káoszhoz. Akkor egy új sötét középkor jön reánk.”

Ennek az újabb sötét középkornak a küszöbét már átléptük. A régi középkorban az írástudatlanság tette lehetővé a tömegek mérhetetlen manipulálhatóságát. Most egy másfajta analfabétizmus ad lehetőséget az obszkurantizmusra, azaz a tudás terjedésének megakadályozására; egyfajta matematikai analfabétizmus, és óriási deficit a reálműveltségben. Képletesen szólva a 2x2 ismerete és józansága hiányzik.

______________________________

1 Az iskolai eseten kívül van banki példám is a tekintélyen alapuló elhitetésre, melynél a leleplezésre egy kicsit többre volt szükség a 2x2 ismereténél, de nem sokkal többre. Ez a történet még ijesztőbb, mint a fenti, mert iskolázott emberekkel hitették el, hogy egy bank nem válik veszteségessé, ha nem hitelez, annak magas kockázatai miatt. Hiába érveltem kollégáimnál azzal, hogy komolyabb számolás nélkül is tudható; jutalékokból, és egyéb díjakból képtelenség fedezni a betétek kamatait, hiszen ha a díjak olyan magasak, hogy a banknak ez fedezi a betétek költségeit, akkor az ügyfélnek nem fogja megérni a banknál kamatoztatni a pénzét, mert több lesz a díj, mint a kamat. Nos, informatikai szakértőként nem tudtam meggyőzni a környezetemet a hitelezés elhagyásának következményeiről. Mondanom sem kell, hogy a bank egy éven belül olyan veszteséges lett, hogy végül eladták egy külföldi tulajdonú banknak, ahogy mondani szokták, privatizálták. 

2015. január 07., szerda 17:18

Tervek nagy vonalakban

Készítettem egy blokkdiagramot arról, miképp gondolom az új matematika felfedezését:

diagram

hyp geo

Kivonat

Egy korábbi cikkemben1 írtam már arról, hogyha a kételemű számokat végtelen távoli pontokkal kiegészített számegyenesként értelmezem, akkor homogén koordinátákat definiálva ezeken a számegyeneseken; a kételemű számok síkjához juthatunk. Abban a cikkben csak a parabolikus számsík modelljét említettem, mert ez hozható összefüggésbe a klasszikus projektív geometriával, hiszen ez az a modell, amelynek képzetes eleme úgy tekinthető, hogy egyetlen végtelen távoli elemet illesztettünk a számegyenes tetszőlegesen nagy számai után. Érdemes végiggondolni a komplex és a hiperbolikus számsík számegyenesként való értelmezését is.
A projektív geometria szóhasználatát követve a (szám)egyenes végtelen távoli pontjait ideális pontoknak is fogom nevezni.
A homogén koordinátákra való áttéréssel mindhárom számsíkot olyan számegyenesként értelmezhetjük, melyek tartalmazzák a végtelen nagy, azaz ideális számpontokat is a parabolikus és a hiperbolikus esetben. A projektív geometriák ezzel még nem épülnek fel, ez csak az első lépés: három – lényegesen eltérő – módon definiálunk (szám)egyeneseket.

Tartalom

  1. Előzmény
  2. Homogén koordináták és a számegyenesek
  3. Parabolikus (szám)egyenes
  4. Hiperbolikus (szám)egyenes
  5. Komplex, vagy elliptikus (szám)egyenes
  6. Összegzés

___________________________________________

1 Lásd. „A dimenziókról” szóló cikk 7. oldalán „A kételemű számok és a projektív geometria” című szakaszt.

A teljes szöveg PDF fájlban itt található