2014. április 21., hétfő 18:08

Az új végtelenről

„Új törvényekkel, túl a szűk egen,
új végtelent nyitottam én eszemnek”
(Babits Mihály, Bolyai)

Érdekes, hogy amíg a matematika a végtelen fogalmának kezelésére oly sok megoldást kínál, ugyanakkor a valós környezetünk érzékelése, mérése csak véges mennyiségeket igényel. Nagyon szemléletesen mutatja be Poincaré ezt a különbséget a matematikai és a fizikai folytonossággal kapcsolatban:

„Megfigyelték például, hogy valamely 10 gramm súlyú A test és valamely 11 gramm súlyú B test egészen azonos érzeteket kelt. Hasonlóképpen nem lehetett megkülönböztetni a B testet a 12 gramm súlyú C testtől, de az A és a C súlyának egymástól való megkülönböztetése már sikerült.
E kísérlet nyers adatai tehát a következő vonatkozásokkal tűntethetők fel:
A = B;
B = C;
A < C.
Ezek a vonatkozások a fizikai folytonosság képleteinek tekinthetők.
Az ellentmondás elvével ez homlokegyenest ütközik, és hogy ezen összeütközést megszüntessük, kénytelenek voltunk a matematikai folytonosságot1 feltalálni.”2

Érzékelő és mérő rendszereink csak egy adott nagyságú ingerre kezdenek reagálni, és két inger között is csak egy jól meghatározott mennyiségi különbség esetén tudunk különbséget tenni. Itt azonnal fölmerül a kérdés, hogy vajon a kvantumosnak érzékelt mikrovilág esetén is arról van-e szó, hogy valóban diszkrét energiacsomagokból áll a világunk, vagy itt is a mérő és érzékelő rendszerek – például az atomok – azok, melyek csak egy adott energiamennyiségre képesek reagálni, és ez okozza, hogy a világról alkotott kép „kvantumos” jellegű. Hangsúlyozom ennek a gondolatnak a következményét; feltehető, hogy eredendően nem vagy nem feltétlenül a tárgy – a való világ – kvantumos jellegű, hanem a róla alkotott kép az, ami garantáltan „szemcsés”.3

 

A teljes szöveg PDF fájlban itt található, mely az anyag 2014. május 30-án javított verziója.

2014. március 17., hétfő 21:40

Hawking és a fénysebességgel való utazás

Röpke gondolatok

Stephen Hawking ismét meglepett egy, a National Geographic csatorna egyik ismeretterjesztő filmjében közölt véleményével. Nem igazán értem, miképp követhet el ilyen logikai hibát egy olyan gondolkodó, mint Hawking. A hiba hatását súlyosbítja, hogy egy ismeretterjesztő filmben közvetít téves nézetet. Nem gondolom, hogy mentségéül szolgálna, hogy tudományos körökben elterjedt nézetről van szó.

Hawking a fénysebesség körüli sebesség elérése kapcsán arról beszélt, hogy akár a halhatatlanság megoldása is lehetne, ha el tudnánk érni a fénysebességet, vagy legalábbis meg tudnánk közelíteni azt. Ebben a gondolatmenetben van egy igen nagy csúsztatás, ugyanis a speciális relativitáselmélet szerint a hozzánk képest fénysebesség közeli sebességgel mozgó inerciarendszerekben nem csak az idő lassul le, de ezzel egyidejűleg a mozgás irányában összelapul a rendszer. Így nem lehetnénk hosszú életűek, hiszen hiába lassulna le az idő, ha a testünk közel kétdimenzióssá lapulna össze.

2014. március 17., hétfő 21:34

Fejlődő Univerzum

Röpke gondolatok

Egy fizikai előadás végén az előadó bemutatta az Univerzum fejlődésében jelenleg sejtett gyorsuló, illetve lassuló tágulások láncolatát. Ezek szerint az Univerzum evolúciója nem írható le olyan egyszerűen, mint ahogy az ősrobbanással kapcsolatos elméletek kezdetben leírták. Az egymást követő exponenciális és logaritmikus tágulási szakaszok nagyon emlékeztetnek a mennyiségi, és minőségi változások egymásutánjára. Felmerül a kérdés, hogyha az Univerzum tekintetében is evolúciós folyamat zajlik, akkor az Univerzum miből „táplálkozik”?

A változásokról szóló anyagomban felhozott esetekben a változás oka minden esetben az, hogy a rendszerek nyílt rendszerek, és „kívülről” táplálkoznak. A táplálkozási szakaszban belső feszültségek keletkeznek a rendszerben, amely végül egy gyors átrendezést eredményez a rendszerben. Ismereteink szerint vannak „önemésztő” folyamatok is, de azok is külső táplálkozáson alapulnak, csak a rendszer elemei már egymástól is elveszik a „táplálékukat”. Vajon az Univerzum, mint rendszer teljes mértékben önemésztéssel „táplálkozik”, vagy van „külső” forrás is, ami előidézi a globális változását?

Gondolatok egy Typotex könyvbemutató kapcsán

fest a_k

Egy hírlevélben értesültem a fenti könyvbemutatóról. Bár a könyv címe ellenérzéseket keltet bennem, mégis elmentem a rendezvényre, mert az utóbbi időben nem igazán figyeltem oda a festészet és a művészettörténet irányzataira, változására, ezért kíváncsi lettem a könyvre és a bemutatóra.

A szerző, Bodó Mihály Wittgenstein nyelvjáték1 módszerét hívja segítségül, és alkalmazza a festészet leírásában, mondván, hogy koncepciójában „a festészet nem úgy jelenik meg, mint egy sodródó «tutaj» a változások tengerén, hanem mint egy «hajó», amelyet értő kezek építettek és kormányoztak. A festőkből aktív irányítók, fejlesztők, időnként feltalálók és kalandozók lesznek, a festményekről pedig kiderül, hogy roppant mennyiségű szellemi invenciót hordoznak.”2 Ez a szemlélet akár jó is lehetne, de a festészet nyelvi metaforája számomra nagyon sántít. A nyelv struktúrájának legjellemzőbb eleme a linearitása, vagy másképp fogalmazva a szekvenciális jellege. Fogalmazhatunk úgy is, hogy a nyelv egydimenziós; térbelisége és időbelisége nem válik szét. A képi megjelenés két térbeli dimenzióval rendelkezik, és a verbalitással szemben a legnagyobb előnye az, hogy időtlen. Ez alatt azt értem, hogy elhanyagolható mértékben van szükség időre az általa közvetített információ befogadásakor, ugyanakkor tárgyában nem, vagy csak igen korlátozott mértékben tudja ábrázolni az időt. A festészet e sajátosságokkal élve egészen speciális, a verbalitástól eltérő utakat nyit az önkifejezésben, a kommunikációban és a valóság leírásába. Az utóbb felsorolt nyelvi funkciók egyben azt is jelzik, hogy sokkal jobbnak tartom a Karl Bühler által megkülönböztetett – majd Karl Popper által kiegészített – nyelvi funkciókat, mint a Wittgenstein által elképzelt megközelítését a nyelvnek. Ez utóbbi szerint a nyelv alapvetően egy adott rendszerben megfogalmazott szabály-játék. Bühler nyelvi funkciói szerint alacsonyabbrendűből két funkciója van a nyelvnek – az önkifejezés és a kommunikáció – magasabbrendűből pedig egy; a leírás. E funkciók közül a magasabbrendűhöz Karl Popper még hozzáfűz egyet, az érvelő, vagy másképp kritikai funkciót.

Egyetértek Bodó Mihállyal abban, hogy a művészettörténetnek a formai elemek fejlődésével, a képi ábrázolások módszertani felfedezéseivel hangsúlyosan kellene foglalkozni. Természetesen nem szabad figyelmen kívül hagyni a tartalmi elemeket sem, hiszen a technika értékelésének elsődleges szempontja a közvetített tartalomnak való megfelelés, vagy az attól való szándékos/szándékolatlan eltérés. Ami zavar engem, az a nyelvi hasonlat, és a wittgensteini filozófiához való visszatérés.

Elkerülhetetlen, hogy meg ne említsem az információról való elképzelésemet, hiszen mind a nyelv, mind a festészet elsődlegesen információt fejez ki és közvetít. Az információ médiája esztétikailag fontos lehet, de szerintem másodlagos a hordozott információhoz képest. Mivel az információt másolási képességnek tekintem, s mint ilyet egyben munkavégző képességnek is, tehát egyfajta energiának, ebből következően az információ az anyag szerkezeti energiájával lehet azonos igen tág értelemben. Így bármely művészet – tehát a festészet is – egy adott média belső szerkezetének felhasználásával, átalakításával fejez ki új tartalmat, azaz hoz létre új információt. Következésképpen egy művészet annyiban kutatás és felfedezés, amennyiben a megmunkálandó anyag belső szerkezetében a lehetőségek feltárását is magában foglalja, és annyiban játék, hogy ezeknek a lehetőségeknek minden elemét kipróbálja, sőt a lehetetlent is megkísérli. A művészet titokzatosságát abban látom, hogy az adott médiával kifejezhetetlen információt a művész a befogadó fantáziájára bízza, és minél zseniálisabb az alkotó, annál jobban és pontosabban tud sugallni ilyen „kifejezhetetlen” tartalmakat is.

fest k_k

Egyéb megjegyzések a könyvbemutatóról

A könyvbemutatót a MOME Auditóriumában tartották. Bodó Mihály előadása a fenti kritikai megjegyzések ellenére nagyon tetszett, végül a könyvét is megvettem. Az előadás szervezésében nem találtam szerencsésnek, hogy negyedórás csúszás után további várakozást jelentettek be, mondván, hogy tekintettel vannak a zugligeti helyszín megközelítésének nehézségeire. Ha valaki udvarias a pontatlanokkal szemben, akkor egyben udvariatlan a pontosan érkezőkkel. Ha én Rákoskeresztúrról oda tudtam érni kezdés előtt pár perccel egy számomra ismeretlen útvonalon, akkor ugyanezt elvárnám másoktól is. További kellemetlenségként ért, amikor a megvásárolt könyvbe hazafelé menet belelapozva észrevettem, hogy az egyébként szép kiadású könyv utolsó 35 oldala hiányzik. Így másnap el kellett mennem a Typotex Retek utcai könyvesboltjába, hogy a könyvet kicseréljem.

____________________________________________

1 Lásd például: http://hu.wikipedia.org/wiki/Nyelvj%C3%A1t%C3%A9k

2 Bodó Mihály, A festészet mint nyelvjáték, Cimabuétől Caravaggióig, Typotex Kiadó 2013, 11. oldal

fest konyv_k

2014. február 23., vasárnap 17:08

Tökéletesség és jóság

Gondolatok Kolakowski írásait olvasva

Nem értek egyet Kolakowskival, amikor arra a következtetésre jut, hogy

„...a feltételezés, miszerint a tökéletesség eleve implikálja a jóságot, önkényes...”1

Persze az érvelés előtt körül kellene írni, hogy milyen tökéletességről van szó. Ezt megteszi Kolakowski, amikor azt írja, hogy

„Tökéletesnek lenni elsősorban annyit tesz, mint elérni a létezés adott létrájának legfelső fokát…”2

Ez a magyarázat azonban nem teljes, hiszen ekkor a létrára kérdezhetnénk rá. Milyen létrának a legfelső fokáról van szó? Erre a kérdésre szerintem nincs jó válasz, sőt bármilyen abszolutizálást helytelennek tartok, ennek okait írásom végén foglalom össze.

Kolakowski ugyanakkor megállapítja, hogy

„… az azonban egyáltalán nem magától értetődő, hogy a jó «fölötte» áll a rossznak…”3

A jóról és a rosszról szóló cikkemben már írtam arról, hogy szerintem mit értünk általában jó alatt. Röviden összefoglalva a jóság alatt az empatikus képességek magas fokát értem, abból a logikából kiindulva, hogy aki a mások érzéseinek átélő-képességével rendelkezik, az tudatosan soha nem fog másoknak ártani, mert közben ő maga is elszenvedné az ártalmakat.

A változásokról szóló anyagomban írtam a változások bonyolultság-növekvő irányáról. Annak az anyagnak a szemlélete szerintem alkalmas megközelíteni a fent említett problémát. Eszerint egy létező ki van téve a környezet hatásainak, élethossza függ ezektől a ráhatásoktól, ezért minél jobban le tudja képezni önmagára a világot, annál jobban tud reagálni a környezete „akcióira”, és ezzel fennmaradásának valószínűsége is növekszik. Az pedig, hogy egyre jobban tükröződik benne a környező világ, bonyolultságának növekedését jelenti. Az egyre finomodó világképe szükségszerűen feltételezi az empátiája növekedését is, ebből pedig ”jóság” ered. Így nemhogy a tökéletesség – inkább szerényebben azt mondom, hogy nemhogy a tökéletesedés – hanem maga a létezés – ha elég hosszú időre „tervezi” a létét – implikálja a „jóságot”, ismét szerényebben szólva, az egyre jobbá válás folyamatát. Ez a gondolatmenet csak a térben és időben létezőkre vonatkozhat, de nem alkalmazható egy olyan Istenre, akinek léte nem lehet időbeli a tökéletessége és az örökkévalósága miatt. Ekkor viszont komoly ellentmondásba kerülhetünk, hiszen gondolatmenetünk szerint a bonyolultság növekedéséből következik a tökéletlen létezők fokozatos jobbá válása, ugyanakkor a tökéletes létező Istenről nem mondható el ugyanez, sőt abszolút jósága nem következménye örökkévalóságának és tökéletességének. Kolakowski is – szerintem helyesen – eljut arra a következtetésre, hogy

2014. február 08., szombat 14:01

Vallási és filozófiai ökumenizmus

Gondolatok Kolakowski írásait olvasva

A „minden vallás egy” állítás két dolgot jelenthet Kolakowski szerint:1

- „… az azonosítható és kifejezhető fontosabb hitek valamiféle készletet alkotnak, miden vallás közös magját, amiben az összes hívő felismeri magát.”2

- „… minden vallás egyfajta kultúrafüggő kifejezése alapjában véve egyazon emberi tapasztalatnak”3

2014. február 02., vasárnap 18:18

Csányi Vilmos, Evolúciós rendszerek

Gondolatok egy könyv olvasása közben

Csányi Vilmos az alábbiak szerint határozta meg a rendszert az „Evolúciós rendszerek” című könyvében:

„Rendszernek tekintünk egy entitást, ha benne alentitások – a továbbiakban komponensek – találhatók, és megadható a komponensek egy véges összessége, továbbá ha a komponensek között kölcsönhatások mutathatók ki, és e kölcsönhatások összessége alapján a rendszer más entitásoktól, vagyis a környezetétől elhatárolható. A rendszer és a komponens ekképpen egymást meghatározó viszonyba kerül. A komponens (az individuum) a kölcsönhatásai által határozódik meg, nem pedig eleve adott. A komponens individuális léte csak a rendszer által lesz lehetséges, noha a rendszer maga a komponensek összességének kölcsönhatásai révén jön létre.”1

Tetszik a meghatározás, bár ennél bonyolultabb a dolog szerintem. Ez már a rendszer „viselkedésének” megemlítéséből látszik. A változásokról szóló anyagomban2 eljutottam arra a következtetésre, hogy az evolúciós fejlődés, és általában a minőségi ugrásokat megelőző mennyiségi növekedési szakasz motorja a „táplálkozás”, tehát a rendszer input/output kapcsolata a környezetével. A rendszert tehát nem csak elemei, de a külső környezetével való kapcsolata is alapvető módon határozza meg.

A fenti idézet következő mondata a rendszerre magára is igaz: „A komponens (az individuum) a kölcsönhatásai által határozódik meg, nem pedig eleve adott.” Tehát magát a rendszert is kölcsönhatásai határozzák meg.

A változásokról szóló anyagban eljutottam egy globális bonyolultság-növekedés fogalomhoz. Ennek megragadásáról, és a leírás problematikájáról a következők szerepelnek a hivatkozott anyagomban:

„…minden rendszernek van egy életideje, ami után vagy megsemmisül, vagy olyan mérvű minőségi változáson megy át, aminek eredménye már hasonlónak sem nevezhető az eredeti rendszerhez, nemhogy azonosnak. A rendszernek olyan általános definícióját kell elsőként megadni, amibe pl. egy állatfaj, mint rendszer, és az állatfajnak egyetlen egyede, mint rendszer is belefér. Ez a metarendszer-rendszer-alrendszer kapcsolatának leírásával talán megy is, a metarendszer alatt a rendszer környezetét értem, az alrendszere alatt pedig az elemeit, melyek általában szintén bonyolult rendszerek. És mit nevezünk hálózatnak? Első ötlet a definícióra: a rendszerelemek topológiáját, vagy kapcsolatrendszerét nevezzük hálózatnak.”3

2014. január 20., hétfő 16:14

A matematika és az idő

Mindig túlzott idealizációnak tartottam, hogy a matematika az egyes műveletek elvégzésénél nem foglalkozik a műveletek időigényével. Ez leginkább a végtelen számú lépésben meghatározható mennyiségeknél tűnik gondatlanságnak. A számítógépek megjelenésével, a műveletek tár- és időigényének problémája is előtérbe került.1 A bonyolultságelmélet üdítő kivételével az elméleti matematika alapjaiban természetesnek tartja az „időtlen” műveleteket. Ennek eklatáns példája a kiválasztási axióma (AC), mely – hétköznapi nyelven megfogalmazva – deklarálja, hogy végtelen elemszámú halmaz mindegyikéből kiválasztható egyetlen szempillantás alatt egy-egy elem.2 Ennek az axiómának a fizikai tapasztalatunktól eltérő, „varázslatos” jellege leginkább azokban a példákban érhető tetten, amelyekkel szemléltetni próbálták az axiómát. A legismertebb ezek közül Hilbert Grand Hotel paradoxonja3, amely szerint egy végtelen sok szobából álló, vendégekkel teli szállodában, akár végtelen sok új vendéget is el tudnak helyezni, mégpedig a szállóvendégek ügyes átköltöztetésével. Például úgy, hogy mindenki a szobaszámának kétszeresét jelölő szobába költözik. Ez a gyakorlatban nem csak azért nem működik, mert nincs végtelen sok szoba egy szállodában, de ha lenne, akkor sem lenne megvalósítható, hiszen minden vendéget egyenként nem költöztethetek, hiszen egy normális szállodában; egy szobában csak egy vendég lehet egy időben. Csak úgy működhetne, ha minden vendég pontosan egy időben költözne, de akkor meg az a gond, hogy mikor takarítanak egy kiköltöző vendég után. Egy matematikus nyilván megmosolyogná ezeket a gondolatokat, pedig nagyon fontos dologról van szó; Poincaré számára is lényeges volt a matematikai mennyiségek és a tapasztalat összevetése4. Hasznos tudnunk tehát, hogy a kiválasztási axiómával a halmazelmélet alapjaiba építettünk be egy olyan lehetőséget, amely a fizikai tapasztalatainknak ellentmond. Valakiben felvetődhet a gondolat, hogy a végtelenről sincs tapasztalatunk5, miért lenne lényegesebb a kiválasztási axióma. A kiválasztási axióma, és a vele szoros kapcsolatban álló kontinuum hipotézis (CH) ugyanolyan „útválasztó” axióma, mint a geometriában a párhuzamossági axióma. Épp általuk, illetve módosításukkal lehet a véges eset, és a különféle végtelenek „jelenlétét” vizsgálni.

A matematikai idealizáció egyik legfeltűnőbb eleme tehát az, hogy a hiperbolikus számok fogalmának felfedezéséig nem volt a fizikai időnek megfelelő matematikai fogalom. Ez egyrészt azt jelentette, hogy a fizikai időt – a térhez hasonlóan – valós számokkal folytonosan és lineáris módon mérhetőnek gondolták, másrészt azt is benne foglaltatik ebben a megállapításban, hogy egy matematikai művelet elméletben nem igényel időt.

A hiperbolikus számsíknak megfelelő téridő-topológia jellemző eleme, hogy az első síknegyedben6 – azaz ott, ahol a független változó pozitív, és a számpontok polár-koordinátás alakjában az argumentum nem tartalmaz imaginárius elemet – a számpontok, mint vektorok meredekségének értéktartománya (-1,+1). Ez azt jelenti a téridő-modellben, hogy a meredekség, mint a „térszerű” koordináta és az „időszerű” koordináta hányadosa egyfajta „sebességszerű”7 mennyiség, és ennek abszolutértéke nem lehet nagyobb egynél. Tehát nincs végtelen nagy sebesség. Ezzel korlátokat szabhatunk a matematikai műveletek elvégezhetőségére, és így a kiválasztási axiómát is át kell fogalmazni. Megjegyzem, hogy a kiválasztási axiómának ez az „időtlenséget” tartalmazó tulajdonsága azért maradt rejtve, mert a Cantor által bevezetett transzfinitek ellenére a matematika elsősorban az intenzív értelemben végtelenül darabolható mennyiségek jól kidolgozott rendszere maradt.

Végig kell még gondolni, hogy a parabolikus és az elliptikus – azaz a komplex – számsíkok milyen időfogalmat modelleznek. Az már körvonalazódik, hogy a CH különböző megfogalmazásaival viszem be a matematikába a különböző időfogalmakat, így a ZF (CH és AC nélkül) az az axiómarendszer, amiben még nem „született meg” az időnek, és következésképpen a térnek megfelelő matematikai fogalom.

_________________________________________________

1 Zénon paradoxonjai is a matematika elégtelenségére mutattak rá a fizikai tér- és időtapasztalatunk tekintetében. Így ez a probléma tulajdonképpen két és fél ezer évvel ezelőtt tűnt fel először, és jelent meg a későbbiekben is időről időre, megoldásra várva. Azoknak az algoritmusoknak az idő- és tárigénye, mellyel a bonyolultságelmélet foglalkozik, csak látszólag különbözik attól a problémától, ami a matematikában – például – a konvergencia bevezetésével jelenik meg. Amikor Cantor aktuális létet adott a természetes számok „után” következő végtelen nagy számoknak, nem tett mást, mint amit már korábban megtettek a valós számoknál, amikor aktuális létet adtak olyan számoknak, melyek csak végtelen sok lépésben végrehajtható művelettel hozhatók létre. A hasonlat ellenvetéseként hozható fel, hogy Cantor végtelenjei nem közelíthetőek meg a természetes számokkal, hiszen minden természetes számtól végtelen távol vannak. Azonban ugyanez mondható el az intenzív végtelen esetén is, azaz ha olyan végtelenül kicsiny számokat is feltételezek, melyek nagyobbak nullánál, de 1/n-nél kisebbek minden n természetes számra. Van tehát egy közös aktus a transzfinit végtelenek, és az irracionális számok bevezetésekor: ez pedig a teremtés „legyen” varázsszava, mely a potencialitásból aktualitásba emeli létüket.

2 Matematikai megfogalmazása ennek a következő: minden x-hez, ha x elemei nem üresek, akkor van olyan x-en értelmezett függvény, amely x minden eleméhez, annak egy elemét rendeli.

3 Lásd például a Wikipédiában: http://hu.wikipedia.org/wiki/Hilbert_Grand_Hotel-paradoxonja

4 Lásd Poincaré, Tudomány és föltevés http://www.fil.hu/uniworld/egyetem/restricted/filtort/Poincare/Tartalomjegyzek.html

5 Ezt az érvet egyébként helytelennek tartom, szerintem a végtelenről van tapasztalatunk, csak a végtelen érzékelése alapjaiban különbözik a végestől. Szerintem a végtelen a „másságban”, minőségileg különböző létezőként jelenik meg számunkra.

6 Lásd a „Kételemű számok alaptulajdonságainak összehasonlítása” című cikket.

7 Az idézőjel oka az, hogy a hiperbolikus számsík koordinátatengelyeinek téridő-megfeleltetésénél egy kis csalás történt – lásd „Az idő, a tér és a végtelen” című cikk utolsó fejezetét – amikor a fénysebességet egységnyinek vettem. Ha a mértékegységeket figyelembe veszem, akkor a hiperbolikus számsík x, azaz „időszerű” koordinátatengelyének fizikai megfelelője egy ct dimenzió, ahol c a fénysebesség. Ekkor az is látszik, hogy a hiperbolikus számok, mint vektorok meredeksége azért csak „sebességszerű”, mert fizikai modellként relatív sebességet, azaz a v/c-t jelöl.

2014. január 15., szerda 14:12

Marriott Hotel

Az alábbi képeket tegnap - 2014. január 14-én - készítettem, egy Marriott Hotelbeli találkozó alkalmából.

cohen3 k

Régóta izgat a kiválasztási axióma és a kontinuum hipotézis kapcsolata. 1900-ban David Hilbert az általa felvetett fontos matematikai problémák között elsőként említette a kontinuumhipotézist. A megoldást Kurt Gödel és Paul Cohen adta a XX. század közepe táján, a bizonyításokat Cohen koronázta meg, amikor 1963-ban a forszolás új módszerét vezette be a bizonyításában.1 Gödel és Cohen bizonyításai alapján tudjuk, hogy kontinuum hipotézis konzisztens és független, azaz az állításnak sem a ZF-hez való hozzátétele sem az állítás tagadásának hozzáadása nem okoz ellentmondást. Ugyanez igaz a kiválasztási axiómára is.

A következők ismertek a kiválasztási axióma és a kontinnum hipotézis kapcsolatáról:

ZF+GCH |= AC2                                                                                            (1)

Ahol ZF jelöli a halmazelmélet Zermelo-Fraenkel axiómarendszerét3, GCH (global continuum hypothesis) a kontinuum hipotézis általános (globális) változatát jelenti4, AC (axiom of choice) pedig a kiválasztási axiómát. A |= azt jelenti, hogy az utána következők következnek az előtte állókból.

Megjegyzés

A kontinuum hipotézis nyilvánvalóan következik az általános kontinuum hipotézisből, ezért a következő is igaz:

ZF+GCH |= CH                                                               (2)

Mivel a ZF-et feltételezve a GCH-ból következik az AC, ezért alkalmasabbnak gondolom „útválasztónak” a GCH-t csatolni a ZF-hez, majd a három GCH-variáns megfogalmazásából következtetni a belőle származtatható AC-variánsokra. A három eset közül az egyik az (1)-ben leírt változat.

A teljes cikk innen tölthető le PDF formátumban